Matrica katrore

Një matricë katrore e rendit 4. Hyrjet $a_{ii}$ formojnë diagonalen kryesore të një matrice katrore. Për shembull, diagonalja kryesore e matricës 4×4 më sipër përmban elementet a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10 .

Në matematikë, një matricë katrore është një matricë me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. Një matricë n -nga- n njihet si matricë katrore e rendit Stampa:Nowrap Çdo dy matrica katrore të të njëjtit rend mund të shtohen dhe shumëzohen.

Matricat katrore përdoren shpesh për të përfaqësuar transformime të thjeshta lineare, të tilla si krasitja ose rrotullimi . Për shembull, nëse $R$ është një matricë katrore që përfaqëson një rrotullim ( matricë rrotullimi ) dhe $𝐯$ është një vektor kolone që përshkruan pozicionin e një pike në hapësirë, prodhimi $R𝐯$ jep një vektor tjetër kolone që përshkruan pozicionin e asaj pike pas atij rrotullimi. Nëse $𝐯$ është një vektor rreshti, i njëjti transformim mund të merret duke përdorur Stampa:Nowrap ku $R^{𝖳}$ është transpozimi i Stampa:Nowrap

Matrica e kthyeshme dhe anasjellta e saj

Një matricë katrore $A$ quhet e invertueshme ose josingulare nëse ekziston një matricë $B$ e tillë që $$AB=BA=I_n.$$ Nëse $B$ ekziston, është unike dhe quhet matricë e anasjelltë e Stampa:Nowrap shënohet Stampa:Nowrap

Matrica e përcaktuar

Pozitivisht e përcaktuar	E papërcaktuar
$\left[\begin{array}{cc}1/4& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1/4& 0\\ 0& -1/4\end{array}\right]$
Q ( x, y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x, y ) = 1/4 x 2 - 1/4 y 2
Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Elipsa ).	Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Hiperbola ).

Një matricë simetrike n × n quhet pozitivisht e përcaktuar (përkatësisht negative-përcaktuar; e pacaktuar), nëse për të gjithë vektorët jozero $x\in {ℝ}^n$ forma e lidhur kuadratike e dhënë nga $$Q(𝐱)={𝐱}^{𝖳}A𝐱$$ merr vetëm vlera pozitive (përkatësisht vetëm vlera negative; edhe disa vlera negative edhe disa pozitive). Nëse forma kuadratike merr vetëm vlera jo negative (përkatësisht vetëm jo pozitive), matrica simetrike quhet pozitive-gjysmëcaktuar (përkatësisht negative-gjysmëpërcaktuar); pra matrica është e pacaktuar pikërisht kur nuk është as pozitive-gjysmëpërcaktuar as negative-gjysmëpërcaktuar.

Matrica ortogonale

Një matricë ortogonale është një matricë katrore me hyrje reale, kolonat dhe rreshtat e së cilës janë vektorë njësi ortogonale (dmth. vektorë ortonormalë ). Në mënyrë ekuivalente, një matricë A është ortogonale nëse transpozimi i saj është i barabartë me inversin e saj: $$A^{\mathsf{\text{T}}}=A^{-1},$$ që nënkupton $$A^{\mathsf{\text{T}}}A=A{A}^{\mathsf{\text{T}}}=I,$$ ku unë jam matrica e identitetit .

Eigenvlerat dhe eigenvektorët

Një numër Stampa:Mvar dhe një vektor jozero $𝐯$ që kënaqin barazimin $$A𝐯=\lambda 𝐯$$ quhen eigenvlera dhe eigenvektorë të Stampa:Nowrap respektivisht. Numri Stampa:Mvar është një vlerë vetjake e një matrice Stampa:Math Stampa:Mvar nëse dhe vetëm nëse Stampa:Math nuk është i kthyeshëm, që është e njëvlerëshme me $$\det (A-\lambda I)=0.$$ Polinomi Stampa:Math në një Stampa:Math të papërcaktuar i dhënë me vlerësimin e përcaktorit Stampa:Math quhet polinomi karakteristik i Stampa:Mvar . Është një polinom monik i shkallës n . Prandaj ekuacioni polinomial Stampa:Math ka më së shumti n zgjidhje të ndryshme, dmth. eigenvlera të matricës. Ato mund të jenë komplekse edhe nëse hyrjet e Stampa:Mvar janë reale. Sipas teoremës Cayley–Hamilton, Stampa:Math, domethënë, rezultati i zëvendësimit të matricës në polinomin e vet karakteristik jep matricën zero .