Mesatarja logaritmike

Komplot tre-dimensional që tregon vlerat e mesatares logaritmike.

Në matematikë, mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) është një funksion i dy numrave jo-negativ i cili është i barabartë me ndryshimin e tyre i ndarë me logaritmin e herësit të tyre.

Përkufizimi

Mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) përcaktohet si:

$\begin{array}{cc}{M}_{\text{lm}}(x,y)& =\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }\frac{\eta -\xi }{\ln (\eta )-\ln (\xi )}\\ & =\{\begin{array}{cc}x& \text{if }x=y,\\ \frac{y-x}{\ln (y)-\ln (x)}& \text{otherwise,}\end{array}\end{array}$

për numrat pozitivë $x,y$ .

Pabarazitë

Mesatarja logaritmike (mesi logaritmik) e dy numrave është më e vogël se mesatarja aritmetike dhe mesatarja e përgjithësuar me një eksponent një të tretën por më e madhe se mesatarja gjeometrike, përveç nëse numrat janë të njëjtë, në këtë rast të tre mjetet janë të barabartë me numrat.

$\sqrt{xy}\le M_{\text{lm}}(x,y)\le {\left(\frac{x^{1/3}+y^{1/3}}{2}\right)}^3\le \frac{x+y}{2}\text{ for all }x>0\text{ and }y>0.$

Rrjedhje

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale

Nga teorema e vlerës mesatare, ekziston një vlerë $\xi$ në intervalin ndërmjet x dhe y ku derivati $f^{\prime }$ është e barabartë me pjerrësinë e vijës secant :

$\mathrm{\exists }\xi \in (x,y):f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

Mesatarja logaritmike merret si vlera e $\xi$ duke zëvendësuar $\ln$ për $f$ dhe në mënyrë të ngjashme për derivatin e tij përkatës:

$\frac{1}{\xi }=\frac{\ln (x)-\ln (y)}{x-y}$

dhe zgjidhja për $\xi$ :

$\xi =\frac{x-y}{\ln (x)-\ln (y)}$

Integrimi

Mesatarja logaritmike mund të interpretohet gjithashtu si zonë nën një kurbë eksponenciale .

$\begin{array}{cc}L(x,y)=& \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-t}{y}^t\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^{t}x\mathrm{d}t=x\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t\mathrm{d}t\\ =& {\frac{x}{\ln \left(\frac{y}{x}\right)}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t|}_{t=0}^1=\frac{x}{\ln \left(\frac{y}{x}\right)}(\frac{y}{x}-1)=\frac{y-x}{\ln \left(\frac{y}{x}\right)}\\ =& \frac{y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}\end{array}$

Interpretimi i zonës lejon nxjerrjen e lehtë të disa vetive themelore të mesatares logaritmike. Meqenëse funksioni eksponencial është monotonik, integrali mbi një interval me gjatësi 1 kufizohet nga $x$ dhe $y$ . Homogjeniteti i operatorit integral transferohet tek operatori mesatar, dmth $L(cx,cy)=cL(x,y)$ .

Dy paraqitje të tjera të dobishme integrale janë$$\frac{1}{L(x,y)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{tx+(1-t)y}$$dhe$$\frac{1}{L(x,y)}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+x)(t+y)}.$$

Përgjithësimi

Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale

Dikush mund të përgjithësojë mesataren për $n+1$ ndryshoret duke marrë parasysh teoremën e vlerës mesatare për ndryshimet e ndara për $n$ derivati i logaritmit.

Ne marrim

$L_{\text{MV}}(x_0,\dots ,x_n)=\sqrt[-n]{(-1{)}^{(n+1)}n\ln \left([x_0,\dots ,x_n]\right)}$

ku $\ln \left([x_0,\dots ,x_n]\right)$ tregon një ndryshim të ndarë të logaritmit.

Për $n=2$ kjo çon në

$L_{\text{MV}}(x,y,z)=\sqrt{\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{2((y-z)\ln \left(x\right)+(z-x)\ln \left(y\right)+(x-y)\ln \left(z\right))}}$ .

Integrali

Interpretimi integral mund të përgjithësohet në më shumë variabla, por çon në një rezultat tjetër. Duke pasur parasysh thjeshtësinë $S$ me $S=\{({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n):({\alpha }_0+\dots +{\alpha }_n=1)\wedge ({\alpha }_0\ge 0)\wedge \dots \wedge ({\alpha }_n\ge 0)\}$ dhe një masë e përshtatshme $\mathrm{d}\alpha$ i cili i përcakton thjeshtëzit një vëllim prej 1, marrim

$L_{\text{I}}(x_0,\dots ,x_n)=\underset{S}{\int }{x}_0^{{\alpha }_0}\cdot \cdots \cdot x_n^{{\alpha }_n}\mathrm{d}\alpha$

Kjo mund të thjeshtohet duke përdorur ndryshimet e ndara të funksionit eksponencial në

$L_{\text{I}}(x_0,\dots ,x_n)=n!\exp [\ln \left(x_0\right),\dots ,\ln \left(x_n\right)]$ .

Shembull $n=2$

$L_{\text{I}}(x,y,z)=-2\frac{x(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right))+y(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right))+z(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right))}{(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right))(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right))(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right))}$ .

Lidhja me mjete të tjera

• Mesatarja aritmetike : $\frac{L(x^2,y^2)}{L(x,y)}=\frac{x+y}{2}$

• Mesatarja gjeometrike : $\sqrt{\frac{L(x,y)}{L(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}}=\sqrt{xy}$

• Mesatarja harmonike : $\frac{L(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}{L(\frac{1}{x^2},\frac{1}{y^2})}=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

Shiko gjithashtu

• Një mesatare e ndryshme që lidhet me logaritmet është mesatarja gjeometrike .
• Mesatarja logaritmike është një rast i veçantë i mesatares Stolarsky .
• Diferenca mesatare logaritmike e temperaturës
• Seminarizimi i logaritmit

Referime

Citimet

Bibliografi

• Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92