Mosbarazimi Bhatia–Davis

Në matematikë, mosbarazimi Bhatia–Davis, i emërtuar për nder të Rajendra Bhatia dhe Chandler Davis, është një kufi i sipërm i variancës σ ² të çdo shpërndarjeje probabiliteti të kufizuar në vijën reale.

 

Pohimi

Le të jenë m dhe M kufijtë e poshtëm dhe të sipërm, përkatësisht, për një bashkësi numrash realë $a_1,a_2,...,a_n$ , me një shpërndarje probabiliteti të caktuar. Le të jetë $\mu$ pritja matematike e kësaj shpërndarjeje.

Pastaj mosbarazimi Bhatia-Davis thotë:

${\sigma }^2\le (M-\mu )(\mu -m).$

Barazia vlen nëse dhe vetëm nëse çdo $a_j$ në bashkësinë e vlerave është e barabartë ose me $M$ ose me $m$.

Prova

Meqënëse $m\le A\le M$ ,

$0\le 𝔼[(M-A)(A-m)]=-𝔼[A^2]-mM+(m+M)\mu$ .

Kështu,

${\sigma }^2=𝔼[A^2]-{\mu }^2\le -mM+(m+M)\mu -{\mu }^2=(M-\mu )(\mu -m)$ .

Krahasimet me mosbarazimet e tjera

Mosbarazimi Bhatia–Davis është më i fortë se mosbarazimi i Popoviciut për variancën (vini re, megjithatë, se pabarazia e Popoviciut nuk kërkon njohuri për pritshmërinë ose mesataren), siç mund të shihet nga kushtet për barazinë. Barazia vlen në mosbarazimin e Popoviciut nëse dhe vetëm nëse gjysma e $a_j$-ve janë të barabarta me kufijtë e sipërm dhe gjysma e $a_j$-ve janë të barabarta me kufijtë e poshtëm. Për më tepër, Sharma ka bërë përmirësime të mëtejshme mbi mosbarazimin Bhatia–Davis.

Shiko gjithashtu

• Kufiri Cramér–Rao
• Kufiri Chapman-Robbins
• Mosbarazimi e Popoviciut mbi variancat