Mosbarazimi i Markovit

Mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për masën e grupit (treguar me të kuqe) ku $f(x)$ tejkalon një nivel të caktuar $\epsilon$ . Lidhja kombinon nivelin $\epsilon$ me vlerën mesatare të $f$ .

Në teorinë e probabilitetit, mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për probabilitetin që një funksion jo-negativ i një ndryshoreje rasti është më i madh ose i barabartë me një konstante pozitive. Është emërtuar sipas matematikanit rus Andrej Markov, megjithëse u shfaq më herët në veprën e Pafnuti Çebishevit (mësues i Markovit), dhe shumë burime, veçanërisht në analizë, i referohen si mosbarazimi i Çebishevit (nganjëherë, duke e quajtur atë mosbarazimi i parë Çebishev, ndërsa duke iu referuar mosbarazimit të Çebishevit si mosbarazimi i dytë Çebishev) ose pabarazia e Bienaymé .

Mosbarazimi i Markovit (dhe mosbarazimet e tjera të ngjashme) lidhin probabilitetet me pritshmëritë dhe sigurojnë kufij (shpesh të lirshëm, por ende të dobishëm) për funksionin e shpërndarjes mbledhëse të një ndryshoreje të rastësishme.

Duhet theksuar se mosbarazimi i Markovit është një kufi i sipërm. Kjo do të thotë se ka barazime (si ai i Çebishevit) që japin rezultate në një interval më të ngushtë.

Pohim

Nëse $X$ është një ndryshore e rastit jonegative dhe $a>0$, atëherë probabiliteti që $X$ është të paktën $a$ është e shumta pritja matematike e $X$ thyer për $a$ :

$\mathrm{P}(X\ge a)\le \frac{\mathrm{E}(X)}{a}.$

Le të jetë $a=\tilde{a}\cdot \mathrm{E}(X)$ (ku $\tilde{a}>0$ ); atëherë ne mund ta rishkruajmë mosbarazimin e mëparshëm si

$\mathrm{P}(X\ge \tilde{a}\cdot \mathrm{E}(X))\le \frac{1}{\tilde{a}}.$

Në gjuhën e teorisë së masës, mosbarazimi i Markovit thotë se nëse $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ është një hapësirë matëse, $f$ është një funksion i matshëm i zgjeruar me vlera reale, dhe ε > 0, atëherë

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge \epsilon \})\le \frac{1}{\epsilon }\underset{X}{\int }|f|d\mu .$

Versioni i zgjeruar për funksionet jozbritëse

Nëse $\varphi$ është një funksion jonegativ jozbritës, $X$ është një ndryshore e rastit (jo domosdoshmërisht jonegative), dhe $\varphi (a)>0$, atëherë

$\mathrm{P}(X\ge a)\le \frac{\mathrm{E}(\phi (X))}{\phi (a)}.$

Një përfundim i menjëhershëm, duke përdorur momente më të larta të $X$ të përcaktuar në vlera më të mëdha se 0, është

$\mathrm{P}(|X|\ge a)\le \frac{\mathrm{E}(|X{|}^n)}{a^n}.$

1. Rezultati "monotonik" mund të demonstrohet nga:

   $\mathrm{P}(|X|\ge a)=\mathrm{P}(\phi (|X|)\ge \phi (a))\stackrel{\mathrm{M}\mathrm{I}}{\le }\frac{\mathrm{E}(\phi (|X|))}{\phi (a)}$

2. Rezultati që, për një ndryshore të rastit jonegative X, funksioni kuantile i $X$ plotëson:

   $Q_X(1-p)\le \frac{\mathrm{E}(X)}{p},$

   provën duke përdorur

   $p\le \mathrm{P}(X\ge Q_X(1-p))\stackrel{\mathrm{M}\mathrm{I}}{\le }\frac{\mathrm{E}(X)}{Q_X(1-p)}.$

3. Le të jetë $M⪰0$ një ndryshore e rastit me vlerë matrice të vetëbashkuar dhe a > 0 . Pastaj

   $\mathrm{P}(M⋠a\cdot I)\le \frac{\mathrm{tr}(E(M))}{na}.$

   mund të tregohet në mënyrë të ngjashme.

Shembuj

Duke supozuar se asnjë e ardhur nuk është negative, mosbarazimi i Markovit tregon se jo më shumë se 1/5 e popullsisë mund të ketë më shumë se 5 herë të ardhurat mesatare.