Ndryshorja e rastit komplekse

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, ndryshoret e rastit komplekse janë një përgjithësim i ndryshoreve të rastit me vlerë reale në numra kompleksë, dmth. vlerat e mundshme që mund të marrë një ndryshore e rastit komplekse janë numra kompleksë. Ndryshoret e rastit komplekse mund të konsiderohen gjithmonë si çifte të ndryshoreve të rastit reale: pjesët e tyre reale dhe imagjinare. Prandaj, shpërndarja e një ndryshoreje komplekse të rastit mund të interpretohet si shpërndarja e përbashkët e dy ndryshoreve të rastit reale.

Zbatimet e ndryshoreve të rastit komplekse gjenden në përpunimin numerik të sinjalit , modulimin e amplitudës kuadratike dhe teorinë e informacionit .

Përkufizimi

Një ndryshore e rastit komplekse $Z$ në hapësirën e probabilitetit $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ është një funksion $Z:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ i tillë që edhe pjesa reale e saj $\mathrm{\Re }(Z)$ dhe pjesa e saj imagjinare $\mathrm{\Im }(Z)$ janë ndryshore të rastit reale në $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ .

Shembuj

Shembull i thjeshtë

Konsideroni një ndryshore të rastit që mund të marrë vetëm tre vlerat komplekse $1+i,1-i,2$ me probabilitete të përcaktuara në tabelë. Ky është një shembull i thjeshtë i një ndryshoreje të rastit komplekse.

Probabiliteti $P(z)$	Vlera $z$
$\frac{1}{4}$	$1+i$
$\frac{1}{4}$	$1-i$
$\frac{1}{2}$	$2$

Pritshmëria e kësaj ndryshoreje të rastit mund të llogaritet thjesht: $\mathrm{E}[Z]=\frac{1}{4}(1+i)+\frac{1}{4}(1-i)+\frac{1}{2}2=\frac{3}{2}.$

Shpërndarja uniforme

Një shembull tjetër i një ndryshoreje komplekse të rastit është shpërndarja uniforme mbi rrethin njësi të mbushur, dmth $\{z\in ℂ\mid |z|\le 1\}$ . Kjo ndryshore e rastit është një shembull i një ndryshoreje komplekse të rastit për të cilën është përcaktuar funksioni i densitetit të probabilitetit . Funksioni i dendësisë është paraqitur si disku i verdhë dhe baza blu e errët në figurën e mëposhtme.

Shpërndarja normale komplekse

Ndryshoret komplekse normale të rastit shpesh hasen në zbatime të shumta. Ato janë një përgjithësim i drejtpërdrejtë i ndryshoreve të rastit normale. Grafiku i mëposhtëm tregon një shembull të shpërndarjes së një ndryshoreje të tillë.

Funksioni kumulativ i shpërndarjes

Përgjithësimi i funksionit të shpërndarjes mbledhëse nga ndryshoret e rastit reale në ato komplekse nuk është i qartë sepse shprehjet e formës $P(Z\le 1+3i)$ nuk kanë kuptim. Megjithatë shprehjet e formës $P(\mathrm{\Re }(Z)\le 1,\mathrm{\Im }(Z)\le 3)$ kanë kuptim. Prandaj, ne përcaktojmë shpërndarjen kumulative $F_Z:ℂ\to [0,1]$ të një ndryshoreje komplekse të rastit nëpërmjet shpërndarjes së përbashkët të pjesëve të tyre reale dhe imagjinare:

$F_Z(z)=F_{\mathrm{\Re }(Z),\mathrm{\Im }(Z)}(\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z))=P(\mathrm{\Re }(Z)\le \mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(Z)\le \mathrm{\Im }(z))$Stampa:Equation box 1

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit të një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet si $f_Z(z)=f_{\mathrm{\Re }(Z),\mathrm{\Im }(Z)}(\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z))$, pra vlera e funksionit të dendësisë në një pikë $z\in ℂ$ është përcaktuar të jetë e barabartë me vlerën e dendësisë së përbashkët të pjesëve reale dhe imagjinare të ndryshores së rastit të vlerësuar në pikën $(\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z))$ .

Një përkufizim i njëvlershëm jepet nga $f_Z(z)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}P(\mathrm{\Re }(Z)\le x,\mathrm{\Im }(Z)\le y)$ ku $x=\mathrm{\Re }(z)$ dhe $y=\mathrm{\Im }(z)$ .

Si në rastin real, funksioni i dendësisë mund të mos ekzistojë.

Pritja matematike

Pritja matematike e një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet bazuar në përkufizimin e pritshmërisë së një ndryshoreje të rastit reale: Stampa:Rp

$\mathrm{E}[Z]=\mathrm{E}[\mathrm{\Re }(Z)]+i\mathrm{E}[\mathrm{\Im }(Z)]$Stampa:Equation box 1Vini re se pritja matematike e një ndryshoreje të rastit komplekse nuk ekziston nëse $\mathrm{E}[\mathrm{\Re }(Z)]$ ose $\mathrm{E}[\mathrm{\Im }(Z)]$ nuk ekziston.

Nëse ndryshorja e rastit komplekse $Z$ ka një funksion të dendësisë së probabilitetit $f_Z(z)$, atëherë pritja matematike jepet nga $\mathrm{E}[Z]=\underset{ℂ}{\iint }z\cdot f_Z(z)dxdy$ .

Nëse ndryshorja e rastësishme komplekse $Z$ ka një funksion të masës së probabilitetit $p_Z(z)$, atëherë pritja matematike jepet nga $\mathrm{E}[Z]=\sum _{z\in \mathbb{Z}}z\cdot p_Z(z)$ .

Kurdoherë që ekziston pritja e një ndryshoreje komplekse të rastit, duke marrë pritshmërinë dhe konjugimin kompleks :

$\overline{\mathrm{E}[Z]}=\mathrm{E}[\bar{Z}].$

Veprimi i pritjes matematike $\mathrm{E}[\cdot ]$ është linear në kuptimin që

$\mathrm{E}[aZ+bW]=a\mathrm{E}[Z]+b\mathrm{E}[W]$

për çdo koeficient kompleks $a,b$ edhe nëse $Z$ dhe $W$ nuk janë të pavarura .

Varianca

Varianca përcaktohet në terma të katrorëve absolutë si:  : 

${\mathrm{K}}_{ZZ}=\mathrm{Var}[Z]=\mathrm{E}\left[{|Z-\mathrm{E}[Z]|}^2\right]=\mathrm{E}[|Z{|}^2]-{|\mathrm{E}[Z]|}^2$Stampa:Equation box 1Varianca është gjithmonë një numër real jonegativ. Është e barabartë me shumën e variancave të pjesës reale dhe imagjinare të ndryshores komplekse të rastit:

$\mathrm{Var}[Z]=\mathrm{Var}[\mathrm{\Re }(Z)]+\mathrm{Var}[\mathrm{\Im }(Z)].$

Varianca e një kombinimi linear të ndryshoreve komplekse të rastit mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

$\mathrm{Var}\left[\sum _{k=1}^N{a}_k{Z}_k\right]=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{a}_i\overline{a_j}\mathrm{Cov}[Z_i,Z_j].$

Mosbarazimi Koshi-Shvarc

Mosbarazimi Koshi-Shvarc për ndryshoret e rastit komplekse, i cili mund të nxirret duke përdorur mosbarazimin e trekëndëshit dhe mosbarazimin e Holderit, është

${|\mathrm{E}\left[Z\bar{W}\right]|}^2\le {|\mathrm{E}\left[\left|Z\bar{W}\right|\right]|}^2\le \mathrm{E}[|Z{|}^2]\mathrm{E}[|W{|}^2]$ .

Funksioni karakteristik

Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit komplekse është një funksion $ℂ\to ℂ$ përcaktuar nga

${\phi }_Z(\omega )=\mathrm{E}\left[e^{i\mathrm{\Re }(\bar{\omega }Z)}\right]=\mathrm{E}\left[e^{i(\mathrm{\Re }(\omega )\mathrm{\Re }(Z)+\mathrm{\Im }(\omega )\mathrm{\Im }(Z))}\right].$