Numri e

Numri e së bashku me numrat $0$ , $1$, $pi$ dhe njësinë imagjinare $i$ është njëra prej konstantave më të rëndësishme në matematikë. Numri e është numri i vetëm real i tillë që funksioni e^x gjatë derivimit të tij nuk ndryshon. Funksioni $e^x$ quhet funksion eksponencial dhe funksioni invers i tij është funksion logaritmik i cili për bazë e ka pikërisht numrin e. Numri e quhet edhe numër i Eulerit ose i Neperit.

Pasi e është numër transhendent dhe irracional vlera e tij nuk mund të jepet në formë të një numri dhjetor të fundëm por ai është një numër dhjetor i pafundëm dhe joperiodik vlera e tij me 20 shifra pas presjes është:

Stampa:Nowrap.

Historiku

Konstanta e për herë të parë u shfaq në vitin 1618 në punimet në lidhje me logaritmet të matematikanit skocez John Napier jo si konstantë e izoluar, por vetëm si bazë e logaritmeve. Zbulimi i atribuohet matematikanit zviceran Jacob Bernoulli, i cili u përpoq të gjejë limitin e vargut:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

vlera e të cilit në fakt është numri e (shënimi me këtë germë është dhënë nga matematikani Leonhard Euler në vitin 1727).

Paraqitja e numrit e

Numri e shfaqet në mënyra të ndryshme edhe atë si seri e pafundme, prodhim i pafundëm, thyesë e vazhdueshme, ose si limit i një vargu të pafundëm paraqitje kjo e cila është edhe kryesorja dhe merret si përkufizuesja e numrit në kurset fillestare të analizës matematike

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$

Për llogaritjen e vlerës së tij me saktësi të dëshiruar më e përshtatshme është seria e pafundme

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

e cila konvergjon shumë shpejt.

Një paraqitje si thyesë e pafundme e vazhdueshme është kjo:

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟐}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟒}+\frac{1}{\ddots }}}}}}$

Numri e dhe numrat kompleks

Funksioni eksponencial e^x si seri e Taylorit jepet me

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

nga ky barazim nëse në vend të x zëvendësojmë ix. dhe nëse kemi parasysh zhvillimin në seri të Taylorit për Funksionet trigonometrike sin x dhe cos x atëherë e fitojmë formulën e Eulerit:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

nga e cila për x = π fitohet identiteti i Eulerit:

$e^{i\pi }+1=0.$

Ngjajshëm,

$e^{i\pi }=-1,$

prej ku rrjedh se

${\log }_e(-1)=i\pi .$

Për më tepër sipas vetive të fuqive

$(\cos x+i\sin x{)}^n={\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}=\cos (nx)+i\sin (nx),$

ky barazim njihet si Formula e de Moivreit.

Lidhje të jashtme

• The number e to 1 million places
• Earliest Uses of Symbols for Constants
• e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH Stampa:Webarchive
• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
• "The story of e" Stampa:Webarchive