Operatori Householder

Në algjebër lineare, operatori Householder përcaktohet si më poshtë. Le të jetë $V$ një hapësirë e prodhimit të brendshëm me dimensione të fundme me prodhim të brendshëm $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ dhe vektor njësi $u\in V$ . Pastaj

$H_u:V\to V$

përcaktohet nga

$H_u(x)=x-2⟨x,u⟩u.$

Ky operator pasqyron vektorin $x$ përgjatë një rrafshi të dhënë nga vektori normal $u$ .

Është gjithashtu e zakonshme të zgjedhësh një vektor jo-njësi $q\in V$, dhe të normalizohet drejtpërdrejt në shprehjen e operatorit Householder:

$H_q\left(x\right)=x-2\frac{⟨x,q⟩}{⟨q,q⟩}q.$

Vetitë

Operatori Householder plotëson vetitë e mëposhtme:

• Është linear ; nëse $V$ është një hapësirë vektoriale mbi një fushë $K$, atëherë

$\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2,\mathrm{\forall }(x,y)\in V^2,H_q(\lambda x+\mu y)=\lambda H_q\left(x\right)+\mu H_q\left(y\right).$

• Ai është i vetë-bashkuar .
• Nëse $K=ℝ$, atëherë është ortogonale ; përndryshe, nëse $K=ℂ$, atëherë është njësi .

Raste të veçanta

Mbi një hapësirë vektoriale reale ose komplekse, operatori Householder njihet gjithashtu si transformimi i Homeholder .