Përafrimi binomial

Përafrimi binomial është i dobishëm për përafërsisht llogaritjen e fuqive të 1 plus një numër të vogël $x$ . Aty thuhet se

$(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Është e vlefshme kur $|x|<1$ dhe $|\alpha x|\ll 1$ ku $x$ dhe $\alpha$ mund të jenë numra realë ose kompleksë.

Përfitimi i këtij përafrimi është se $\alpha$ konvertohet nga një eksponent në një faktor shumëzues. Kjo mund të thjeshtojë shumë shprehjet matematikore (si në shembullin më poshtë ) dhe është një mjet i zakonshëm në fizikë.

Derivimet

Përdorimi i përafrimit linear

Funksioni

$f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$

është një funksion i lëmuar për $x$ afër 0. Kështu, zbatohen mjetet standarde të përafrimit linear nga llogaritja : merret

$f^{\prime }(x)=\alpha (1+x{)}^{\alpha -1}$

dhe kështu

$f^{\prime }(0)=\alpha .$

Kështu

$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)=1+\alpha x.$

Nga teorema e Taylor-it, gabimi në këtë përafrim është i barabartë me $\frac{\alpha (\alpha -1)x^2}{2}\cdot (1+\zeta {)}^{\alpha -2}$ për disa vlera të $\zeta$ që shtrihet ndërmjet 0 dhe $x$ . Për shembull, nëse $x<0$ dhe $\alpha \ge 2$, gabimi është e shumta $\frac{\alpha (\alpha -1)x^2}{2}$ . Me shënimin O e vogël, mund të thuhet se gabimi është $o(|x|)$, që do të thotë se $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\text{error}}{|x|}=0$ .

Duke përdorur seritë e Tejlorit

Funksioni

$f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$

ku $x$ dhe $\alpha$ mund të jetë reale ose komplekse mund të shprehet si një seri Taylor rreth pikës zero.

$\begin{array}{cc}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\\ f(x)& =f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2}{f}^{″}(0)x^2+\frac{1}{6}{f}^{‴}(0)x^3+\frac{1}{24}{f}^{(4)}(0)x^4+\cdots \\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\alpha x+\frac{1}{2}\alpha (\alpha -1)x^2+\frac{1}{6}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^3+\frac{1}{24}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^4+\cdots \end{array}$

Nëse $|x|<1$ dhe $|\alpha x|\ll 1$, atëherë termat në seri bëhen gradualisht më të vogla dhe mund të shkurtohet në

$(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Shembull

Përafrimi binomial për rrënjën katrore, $\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$, mund të zbatohet për shprehjen e mëposhtme,

$\frac{1}{\sqrt{a+b}}-\frac{1}{\sqrt{a-b}}$

ku $a$ dhe $b$ janë reale dhe $a\gg b$ .

Forma matematikore për përafrimin binomial mund të rikuperohet duke faktorizuar termin e madh $a$ dhe duke kujtuar se një rrënjë katrore është e njëjtë me fuqinë e 1/2.

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{a+b}}-\frac{1}{\sqrt{a-b}}& =\frac{1}{\sqrt{a}}({(1+\frac{b}{a})}^{-1/2}-{(1-\frac{b}{a})}^{-1/2})\\ & \approx \frac{1}{\sqrt{a}}((1+(-\frac{1}{2})\frac{b}{a})-(1-(-\frac{1}{2})\frac{b}{a}))\\ & \approx \frac{1}{\sqrt{a}}(1-\frac{b}{2a}-1-\frac{b}{2a})\\ & \approx -\frac{b}{a\sqrt{a}}\end{array}$

Me sa duket shprehja është lineare në $b$ kur $a\gg b$ gjë që përndryshe nuk është e dukshme nga shprehja origjinale.