Paralelopipedi

Paralelopiped
Lloji	Prizma Plesioedron
Faqet	6 paralelograme
Brinjët	12
Kulmet	8
Grupi i simetrisë	<i id="mwIg">C</i> <sub id="mwIw"><i id="mwJA">i</i></sub>, [2 + ,2 + ], ( × ), rendit 2
Vetitë	konveks, zonohedron

Në gjeometri, një paralelopiped është një figurë tre-dimensionale e formuar nga gjashtë paralelograme (termi romboid gjithashtu përdoret ndonjëherë me këtë kuptim). Për analogji, ai lidhet me një paralelogram ashtu si një kub lidhet me një katror . Stampa:Efn

Janë tre përkufizime të njëvlerëshme të paralelepipedit

• një gjashtëkëndor me tre palë faqe paralele,
• një shumëfaqësh me gjashtë faqe ( gjashtëkëndësh ), secila prej të cilave është një paralelogram, dhe
• një prizëm baza e të cilit është një paralelogram .

Kuboidi drejtkëndor (gjashtë faqe drejtkëndëshe ), kubi (gjashtë faqe katrore ) dhe rombohedroni (gjashtë faqe rombi ) janë të gjitha raste specifike të paralelopipedit.

Vëllimi

Paralelopiped, i krijuar nga tre vektorë

Një paralelipiped është një prizëm me bazë një paralelogram. Prandaj vëllimi $V$ i një paralelopipedi është prodhimi i sipërfaqes bazë $B$ dhe lartësinë $h$ (shih diagramin). Me:

• $B=\left|𝐚\right|\cdot \left|𝐛\right|\cdot \sin \gamma =|𝐚\times 𝐛|$ (ku $\gamma$ është këndi ndërmjet vektorëve $𝐚$ dhe $𝐛$ ), dhe
• $h=\left|𝐜\right|\cdot |\cos \theta |$ (ku $\theta$ është këndi ndërmjet vektorit $𝐜$ dhe normalja me bazën), merret formula:

$$V=B\cdot h=(\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \gamma )\cdot \left|𝐜\right||\cos \theta |=|𝐚\times 𝐛|\left|𝐜\right||\cos \theta |=|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|.$$ Prodhimi i përzier i tre vektorëve quhet prodhim i trefishtë . Mund të përshkruhet nga një përcaktor . Prandaj për $𝐚=(a_1,a_2,a_3{)}^{𝖳},𝐛=(b_1,b_2,b_3{)}^{𝖳},𝐜=(c_1,c_2,c_3{)}^{𝖳},$ vëllimi është:

$V=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|$Stampa:NumBlkNjë mënyrë tjetër për të vërtetuar pohimin e mësipërm është përdorimi i përbërësit skalar në drejtim të $𝐚\times 𝐛$ të vektorit $𝐜$ : $$\begin{array}{c}V=|𝐚\times 𝐛|\left|{\mathrm{scal}}_{𝐚\times 𝐛}𝐜\right|=|𝐚\times 𝐛|\frac{|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|}{|𝐚\times 𝐛|}=|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|.\end{array}$$ Rezultati vijon.

Një paraqitje alternative e vëllimit përdor vetëm vetitë gjeometrike (këndet dhe gjatësitë e skajeve):

$V=abc\sqrt{1+2\cos (\alpha )\cos (\beta )\cos (\gamma )-{\cos }^2(\alpha )-{\cos }^2(\beta )-{\cos }^2(\gamma )}$Stampa:NumBlkku $\alpha =\mathrm{\angle }(𝐛,𝐜)$, $\beta =\mathrm{\angle }(𝐚,𝐜)$, $\gamma =\mathrm{\angle }(𝐚,𝐛)$, dhe $a,b,c$ janë gjatësitë e brinjëve.

Sipërfaqja

Sipërfaqja e një paralelepipedi është shuma e sipërfaqeve të paralelogrameve kufizuese: $$\begin{array}{cc}A& =2\cdot (|𝐚\times 𝐛|+|𝐚\times 𝐜|+|𝐛\times 𝐜|)\\ & =2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta ).\end{array}$$