Pjesëtuesi më i madh i përbashkët
PMP është shkurtesë në matematikë për të shënuar pjesëtuesin më të madh të përbashkët për dy apo më tepër numra të plotë, e njëjta shkurtesë përdoret për pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy ose më tepër polinomeve. PMP i dy ose më tepër numrave të dhënë është numri i cili secilin prej tyre e pjesëton pa mbetje.
Nëse e kërkojmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a dhe b shënojmë PMP(a, b). Për shembull, PMMP(36,81) = 6, PMP(−4, 14) = 2. Dy numra quhen relativisht të thjeshtë nëse pjesëtuesi më i madh i përbashkët i tyre është 1. Për shembull numri 9 dhe numri 28 janë relativisht të thjeshtë.
PMP është i nevojshëm për thjeshtimin e thyesave në thyesa të pathjeshtueshme. Për shembull PMP(42, 56) = 14, prandaj,
Llogaritja e Pjesëtuesit më të madh të përbashkët
PMP parimisht mund të llogaritet ashtuqë të gjithë numrat i zbërthejmë në faktorë të theshtë dhe i vërejmë faktorët dhe fuqitë e tyre, si në shembullin vijues: PMP(18, 84), e zbërthejmë në faktorë të thjeshtë 18 = 2 · 32 dhe 84 = 22 · 3 · 7 dhe e vërejmë fuqinë më të vogël të faktorëve të përbashkët 2 · 3; pra PMP(18, 84) = 6. Praktikisht kjo metodë është e zbatueshme për numra të vegjël sepse zbërthimi në faktorë për numra të mëdhenj është proces shumë i gjatë.
Nje metodë për gjetjen e plotëpjestuesit më të madhë të përbashkët është përmes Algoritmit të Euklidit.
Teoremë:Teorema thotë se pmmp(a,b),me kusht që b nuk është 0 dhe a>b,është e barabartë me pmmp(b,r),ku r paraqet mbetjen gjatë pjestimit të a me b.Kështu duke e përsëritur këtë algoritëm pmmp-në e dy numrave të mdhenjë do mund ta gjejmë si pmmp i dy numrave të vegjël.
Vërtetim: 1°.Duhet vërtetuar që pmmp(b,r),plotëpjestonë a dhe b.
2°.Si dhe duhet vërtetuar që pmmp(b,r),është pmmp(a,b).
1°.Për të vërtetuar se pmmp(b,r) plotëpjestonë a dhe b,supozojmë se pmmp(b,r)=y nga kjo kemi që y|r dhe y|b.Nga y|b ,duke pas parasyshë që y plotëpjestonë cdo shumëfishë të b atëherë kemi që y|qb. Nga y|r dhe y|bq => y|bq+r => y|a(pasi që r paraqet mbetjen nga pjestimi i a me b dhe kjo mund të shkruhet si a=qb+r). -Pra vërtetuam që pmmp(b,r),plotëpjestonë a dhe b.
2°Tani duhet vërtetuar se nese pmmp(b,r)=y është pmmp(a,b). Supozojmë se x=pmmp(a,b) => x|a dhe x|b.Pasi x|b atëherë x|bq.Nga x|a dhe x|bq => x|a-bq => x|r(pasi që r paraqet mbetjen nga pjestimi i a me b dhe kjo mund të shkruhet si a=qb+r => r=a-qb).Nga x|r dhe x|b => x|y. Pasi që x|y dhe y|a dhe y|b kjo nënkupton se y është pmmp(a,b).
Shembull i pëdorimit të Algoritmit të Euklidit: Të gjendet pmmp(654,360): Pmmp(654,360)= pmmp(360,294)= pmmp(294,66)= pmmp(66,30)= pmmp(30,6)= pmmp(6,0)=6. -Dhe në bazë të algoritmit të Euklidit kemi që 6 do të jetë pmmp i 654 dhe 360.
Si një vazhdimësi e Algorimit të Euklidit,vlen të ceket edhe Teorema e Bezout, si vijon '' Nëse a dhe b janë numra të plotë pozitiv,atëherë ekzistojnë numra të plotë s dhe t, të tillë që PMP(a,b)= sa+ tb.'' , ku s dhe t quhen koeficientë të Bezout.
Në këtë rast, nëse dëshirojmë të gjejmë koeficientët e Bezout nga 18 dhe 84 si a dhe b, duhet të fillojmë t'i shënojmë hapat e pjestimit nga ana e kundërt d.m.th numrin 6 e shenojmë si kombinim 18-12=6 , e kështu me rradhë,ndryshe këtë proces mund ta quajmë invers multiplikativ.