Proceset stokastike

Një realizim i simuluar kompjuterik i një procesi lëvizjeje Wiener ose Brownian në sipërfaqen e një sfere. Procesi Wiener konsiderohet gjerësisht si procesi stokastik më i studiuar dhe qendror në teorinë e probabilitetit.

Në teorinë e probabilitetit dhe fushat e lidhura me to, një proces stokastik ose i rastit është një objekt matematikor i përcaktuar zakonisht si një koleksion ndryshoresh rasti, ku indeksi i vargut interpretohet si kohë . Proceset stokastike përdoren gjerësisht si modele matematikore të sistemeve dhe fenomeneve që duket se ndryshojnë në mënyrë të rastësishme. Shembujt përfshijnë rritjen e një popullate bakteriale, një rrymë elektrike që luhatet për shkak të zhurmës termike ose lëvizjen e një molekule gazi . Proceset stokastike kanë zbatime në shumë disiplina si biologjia, kimia, ekologjia, neuroshkenca, fizika, përpunimi i imazhit, përpunimi i sinjalit, teoria e kontrollit, teoria e informacionit, shkenca kompjuterike, dhe telekomunikacioni . Për më tepër, ndryshimet në dukje të rastit në tregjet financiare kanë motivuar përdorimin e gjerë të proceseve stokastike në financa .

Bazuar në vetitë e tyre matematikore, proceset stokastike mund të grupohen në kategori të ndryshme, të cilat përfshijnë ecje të rastit, martingejle, procese Markov, procese Lévy, procese Gausiane, fusha të rastësishme, proceset e rinovimit dhe proceset e degëzimit . Studimi i proceseve stokastike përdor njohuri dhe teknika matematikore nga probabiliteti, kalkulusit, algjebra lineare, teoria e grupeve dhe topologjia si dhe degë të analizës matematikore si analiza reale, teoria e matjeve, analiza e Furierit, dhe analiza funksionale . Teoria e proceseve stokastike konsiderohet të jetë një kontribut i rëndësishëm në matematikë dhe vazhdon të jetë një temë aktive e kërkimit për arsye teorike dhe aplikime.

Terminologjia

Përkufizimi i një procesi stokastik ndryshon, por një proces stokastik përkufizohet tradicionalisht si një koleksion ndryshoresh rasti të indeksuar nga një bashkësi. Termat proces i rastit dhe proces stokastik konsiderohen sinonime dhe përdoren në mënyrë të ndërsjellë, pa u specifikuar saktësisht grupi i indeksit. Të dyja "koleksioni", ose "familja" përdoren ndërsa në vend të "bashkësisë së indeksit", ndonjëherë përdoren termat "bashkësi parametrash" ose "hapësirë parametrash" .

Shënimi

Një proces stokastik mund të shënohet, ndër mënyra të tjera, me $\{X(t){\}}_{t\in T}$, $\{X_t{\}}_{t\in T}$, $\{X_t\}$ $\{X(t)\}$ ose thjesht si $X$ ose $X(t)$, edhe pse $X(t)$ konsiderohet si abuzim i shënimit të funksionit . Për shembull, $X(t)$ ose $X_t$ përdoren për t'iu referuar ndryshores së rastit me indeksin $t$, dhe jo i gjithë procesi stokastik. Nëse grupi i indeksit është $T=[0,\mathrm{\infty })$, atëherë mund të shkruhet, për shembull, $(X_t,t\ge 0)$ për të treguar procesin stokastik.