Produkti diadik

Në matematikë, në vecanti në algjebrën multilineare, produkti diadik

$\mathbb{P}=𝐮\otimes 𝐯$

i dy vektorëve, $𝐮$ dhe $𝐯$, ku seicili ka të njejtin dimension, është produkti tensorial i vektorëve i cili rezulton në një tensor të rendit të dytë dhe të rendit të parë.

Komponentet

Në lidhje me një baze të zgjedhur $\{{𝐞}_i\}$, komponentet $P_{ij}$ e produktit diadik $\mathbb{P}=𝐮\otimes 𝐯$ mund të përcaktohen si

$P_{ij}=u_i{v}_j$ ,

ku

$𝐮=\sum _i{u}_i{𝐞}_i$ ,

$𝐯=\sum _j{v}_j{𝐞}_j$ ,

dhe

$\mathbb{P}=\sum _{i,j}{P}_{ij}{𝐞}_i\otimes {𝐞}_j$ .

Paraqitja përmes matricave

Produkti diadik mund të paraqitet thjesht si një matrice katrorë e marrë nga shumezimi $𝐮$ si një vektor kolonë nga $𝐯$ si një vektor rrjesht. Për shembull,

$𝐮\otimes 𝐯\to \left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3\\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3\end{array}\right],$

ku shigjeta tregon se ky është vetëm një paraitje e caktuar e produktit diadik, që i referohet veçanrisht një baze të caktuar. Në këtë paraqitje, produkti diadik është një rast special i prodhimit Kroneker.

Identitete

Identitete e meposhtme janë një konsekence direkte e përcaktimit të prodhimit diadik :

$\begin{array}{cc}(\alpha 𝐮)\otimes 𝐯& =𝐮\otimes (\alpha 𝐯)=\alpha (𝐮\otimes 𝐯),\\ 𝐮\otimes (𝐯+𝐰)& =𝐮\otimes 𝐯+𝐮\otimes 𝐰,\\ (𝐮+𝐯)\otimes 𝐰& =𝐮\otimes 𝐰+𝐯\otimes 𝐰,\\ (𝐮\otimes 𝐯)\cdot 𝐰& =𝐮(𝐯\cdot 𝐰),\\ 𝐮\cdot (𝐯\otimes 𝐰)& =(𝐮\cdot 𝐯)𝐰.\end{array}$

Shikoni gjithashtu

• Tensori diadik
• Prodhimi tensorial
• Prodhimi Kroneker
• Prodhimi i jashtem

Referime

Stampa:Cite book.