Rrënja katrore

Shënim për rrënjën katrore (kryesore) të $x$.

Në matematikë, një rrënjë katrore e një numri $x$ është një numër $y$ i tillë që $y^2=x$ ; me fjalë të tjera, një numër $y$ katrori i të cilit (rezultati i shumëzimit të numrit me vetveten, ose $y\cdot y$ ) është $x$ . Për shembull, 4 dhe −4 janë rrënjë katrore të 16 sepse $4^2=(-4{)}^2=16$ .

Çdo numër real jonegativ $x$ ka një rrënjë katrore unike jonegative, të quajtur rrënja katrore kryesore ose thjesht rrënjë katrore, e cila shënohet me $\sqrt{x},$ ku simboli " $\sqrt{{}^{}}$ " quhet shenja radikale . Për shembull, për të shprehur faktin se rrënja kryesore katrore e 9 është 3, ne shkruajmë $\sqrt{9}=3$ . Termi (ose numri) rrënja katrore e të cilit po konsiderohet njihet si radikandi . Radikandi është numri ose shprehja nën shenjën radikale, në këtë rast, 9. Për $x$ jo-negative, rrënja katrore kryesore mund të shkruhet gjithashtu në shënimin e eksponentit, si $x^{1/2}$ .

Çdo numër pozitiv $x$ ka dy rrënjë katrore: $\sqrt{x}$ (që është pozitive) dhe $-\sqrt{x}$ (që është negative). Dy rrënjët mund të shkruhen më shkurt duke përdorur shenjën ± si $\pm \sqrt{x}$ . Megjithëse rrënja kryesore katrore e një numri pozitiv është vetëm një nga dy rrënjët e tij katrore, emërtimi " rrënja katrore" përdoret shpesh për t'iu referuar rrënjës katrore kryesore.

Historia

Tableta prej balte YBC 7289 e Koleksionit Babilonas Yale u krijua midis 1800 para Krishtit dhe 1600 para Krishtit, duke treguar se $\sqrt{2}$ dhe $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ përkatësisht janë (sipas tyre) 1;24,51,10 dhe 0;42,25,35 numra me bazë 60 në një katror të kryqëzuar nga dy diagonale. (1;24,51,10) baza 60 korrespondon me 1,41421296, e cila është e saktë me 5 pikë dhjetore (1,41421356. . . ).

Papirusi matematikor Rhind është një kopje e vitit 1650 para Krishtit të një papirusi të mëparshëm të Berlinit dhe tekste të tjeraStampa:Sndndoshta Papirusi KahunStampa:Sndqë tregon se si egjiptianët nxorrën rrënjët katrore me metodën e përpjestimit të anasjelltë.

Në Indinë e Lashtë, njohuria e aspekteve teorike dhe të zbatuara të rrënjës katrore dhe katrorit të një numri ishin të paktën aq të vjetër sa Sulba Sutras, të datuara rreth viteve 800-500 para Krishtit (ndoshta shumë më herët). Një metodë për gjetjen e përafrimeve shumë të mira me rrënjët katrore të 2 dhe 3 është dhënë në Baudhayana Sulba Sutra . Aryabhata, në Aryabhatiya (seksioni 2.4), ka dhënë një metodë për gjetjen e rrënjës katrore të numrave që kanë shumë shifra.

Grekët e lashtë e dinin se rrënjët katrore të numrave të plotë pozitivë që nuk janë katrorë të përsosur janë gjithmonë numra irracionalë : numrat që nuk shprehen si një raport prej dy numrash të plotë (d.m.th., ata nuk mund të shkruhen saktësisht si $\frac{m}{n}$, ku m dhe n janë numra të plotë). Kjo është teorema Euklidi X, 9, pothuajse me siguri për shkak të Taetetusit që daton rreth vitit 380 para Krishtit. Zbulimi i numrave irracionalë, duke përfshirë rastin e veçantë të rrënjës katrore të 2, lidhet gjerësisht me shkollën e Pitagorës.

Vetitë dhe përdorimet

Grafiku i funksionit $f(x)=\sqrt{x}$, i përbërë nga gjysma e parabolës me drejtim vertikal

Funksioni kryesor i rrënjës katrore $f(x)=\sqrt{x}$ (zakonisht i referuar vetëm si "funksioni i rrënjës katrore") është një funksion që hartëzon bashkësinë e numrave realë jonegativë në vetvete. Në terma gjeometrikë, funksioni i rrënjës katrore harton sipërfaqen e një katrori me gjatësinë e brinjës së tij.

Rrënja katrore e $x$ është racionale atëherë dhe vetëm atëherë nëse $x$ është një numër racional që mund të përfaqësohet si një raport i dy katrorëve të përsosur. Funksioni i rrënjës katrore i hartëzon numrat racionalë në numra algjebrikë, këta të fundit janë një mbibashkësi e numrave racionalë).

Për të gjithë numrat realë $x$,

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

dhe

$$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)(n!{)}^2(4^n)}{x}^n=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\cdots ,$$

Seria Tejlor e $\sqrt{1+x}$ rreth $x=0$ konvergjon për $|x|\le 1$, dhe jepet nga: