Seritë (matematikë)

Në matematikë, një seri është, përafërsisht, veprimi i shtimit të pafundësisht shumë madhësive, njëra pas tjetrës, mbi një madhësi fillestare. Studimi i serive është një pjesë kryesore e kalkulusit dhe përgjithësimit të tij, analizës matematikore . Seritë përdoren në shumicën e fushave të matematikës, madje edhe për studimin e strukturave të fundme (si p.sh. në kombinatorikë ) nëpërmjet funksioneve gjenerues . Përveç përhapjes së tyre në matematikë, seritë e pafundme përdoren gjerësisht edhe në disiplina të tjera sasiore si fizika, shkenca kompjuterike, statistika dhe financa .

Për një kohë të gjatë, ideja se një shumë e tillë potencialisht e pafundme mund të prodhonte një rezultat të fundëm konsiderohej paradoksale . Ky paradoks u zgjidh duke përdorur konceptin e një limiti gjatë shekullit të 17-të. Paradoksi i Zenonit për Akilin dhe breshkën ilustron këtë veti kundërintuitive të shumave të pafundme: Akili vrapon pas një breshke, por kur ai arrin pozicionin e breshkës në fillim të garës, breshka ka arritur një pozicion të dytë; kur ai arrin këtë pozicion të dytë, breshka është në një pozicion të tretë, e kështu me radhë. Zenoni arriti në përfundimin se Akili nuk mund ta arrinte kurrë breshkën, dhe kështu kjo lëvizje nuk ekziston. Zeno e ndau garën në pafundësisht shumë nën-gara, ku secila kërkon një kohë të kufizuar, kështu që koha totale për Akilin për të kapur breshkën jepet nga një seri. Zgjidhja e paradoksit është se, megjithëse seria ka një numër të pafund termash, ajo ka një shumë të fundme, e cila i jep kohën e nevojshme Akilit për të kapur breshkën.

Në terminologjinë moderne, çdo varg (i renditur) i pafundëm $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ të kufizave (d.m.th., numrave, funksioneve ose çdo gjëje që mund të shtohet) përcakton një seri, e cila është veprimi i mbledhjes së kufizave të vargut, $a_i$, njëra pas tjetrës. Për të theksuar se ka një numër të pafund termash, një seri mund të quhet seri e pafundme . Një seri e tillë përfaqësohet (ose shënohet) me një shprehje si

$$a_1+a_2+a_3+\cdots ,$$

ose, duke përdorur shenjën e shumës ,

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.$$

Vargu i pafundëm i shumave të nënkuptuara nga një seri nuk mund të kryhet në mënyrë efektive (të paktën në një kohë të fundme). Megjithatë, nëse grupi të cilit i përkasin termat dhe shumat e tyre të fundme ka një nocion limit, ndonjëherë është e mundur t'i caktohet një vlerë një serie, e quajtur shuma e serisë. Kjo vlerë është kufiri pasi n tenton në pafundësi (nëse ekziston kufiri) i shumave të fundme të n termave të parë të serisë, të cilat quhen shumat e n ta të pjesshme të serisë. Kjo paraqitet si,

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n{a}_i.$$

Kur ekziston ky kufi, thuhet se seria është konvergjente ose e përmbledhur, ose se sekuenca $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ është konvergjente . Në këtë rast, kufiri quhet shuma e serisë. Ndryshe, seria thuhet se është divergjente .

Shënimi ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ tregon si serinë - që është procesi i nënkuptuar i shtimit të termave njëri pas tjetrit në mënyrë të pacaktuar - dhe, nëse seria është konvergjente, shumën e serisë - rezultatin e procesit. Ky është një përgjithësim i konventës së ngjashme të shënjimit me $a+b$ si mbledhja - procesi i mbledhjes - dhe rezultati i tij - shuma e a dhe b .

Zakonisht, termat e një serie vijnë nga një unazë, shpesh nga fusha $ℝ$ të numrave realë ose të fushës $ℂ$ të numrave kompleksë . Në këtë rast, grupi i të gjitha serive është në vetvete një unazë (dhe madje një algjebër shoqëruese ), në të cilën mbledhja konsiston në shtimin e termit të serisë për term, dhe shumëzimi është prodhimi Cauchy .

Shembuj të serive numerike

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.$$

• Një seri gjeometrike është ajo ku çdo term i njëpasnjëshëm prodhohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me një numër konstant (i quajtur raport i përbashkët në këtë kontekst). Për shembull: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=2.$$

Në përgjithësi, seria gjeometrike

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$$

konvergon atëherë dhe vetëm atëherë kur $|z|<1$, në të cilin rast ajo konvergon në $\frac{1}{1-z}$ .

• Seria harmonike është seria $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}.$$

Seria harmonike është divergjente .

• Një seri alternative është një seri ku termat alternojnë shenjën. Shembuj: $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=\ln (2)$$

( seri harmonike alternative ) dhe

$$-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{2n-1}=-\frac{\pi }{4}$$

• Një seri teleskopike $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n-b_{n+1})$$

Pi

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}(4)}{2i-1}=\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-\cdots =\pi$$

Logaritmi natyror i 2

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}}{i}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2i+1)(2i+2)}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(i+1)(i+2)}=2\ln (2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i(4i^2-1)}=2\ln (2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{i}i}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i})\frac{1}{i}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2i(2i-1)}=\ln 2$$

Konvergjenca absolute

Një seri

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

konvergjon absolutisht nëse seria e vlerave absolute të saj

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$$

konvergon. Kjo është e mjaftueshme për të garantuar jo vetëm që seria origjinale konvergjon në një kufi, por edhe që çdo rirenditje e saj konvergjon në të njëjtin kufi.