Seritë teleskopike

Në matematikë, një seri teleskopike është një seri termi i përgjithshëm i së cilës $t_n$ është i formës $t_n=a_{n+1}-a_n$, dmth ndryshimi i dy termave të njëpasnjëshëm të një vargu $(a_n)$ .

Si pasojë, shumat e pjesshme përbëhen vetëm nga dy terma të $(a_n)$ pas anulimit. Teknika e anulimit, ku një pjesë e çdo termi anulohet me një pjesë të termit tjetër, njihet si metoda e ndryshesave .

Për shembull, seria

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

thjeshtohet në

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1-\frac{1}{N+1}\right]=1.\end{array}$

Në përgjithësi

Shumat teleskopike janë shuma të fundme në të cilat çiftet e kufizave të njëpasnjëshme anulojnë njëra-tjetrën, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

Le të jetë $a_n$ një varg numrash. Pastaj,

$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n-1})=a_N-a_0$

Nëse $a_n\to 0$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a_{n-1})=-a_0$

Prodhimet teleskopike janë prodhime të fundme në të cilat termat e njëpasnjëshëm anulojnë emëruesin me numërues, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

Më shumë shembuj

• Shumë funksione trigonometrike gjithashtu pranojnë përfaqësimin si një ndryshese, i cili lejon anulimin teleskopik midis kufizave të njëpasnjëshme. $$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\sin \left(n\right)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(n\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)\sum _{n=1}^N(\cos \left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2n+1}{2}\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(\cos \left(\frac{1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2N+1}{2}\right)).\end{array}$$
• Disa shuma të formës $\sum _{n=1}^N\frac{f(n)}{g(n)}$$$\sum _{n=1}^N\frac{f(n)}{g(n)}$$$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}=& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ =& (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots \\ & \cdots +(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})+\cdots \\ =& \mathrm{\infty }.\end{array}$
• Le të jetë k nj$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}=\frac{1}{m-k}\cdot \frac{k!}{m!}$$$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+k)}=\frac{H_k}{k}$$
• Le të k,m me k $\ne$ m të jenë numra të plotë pozitivë. Pastaj $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}=\frac{1}{m-k}\cdot \frac{k!}{m!}$

Në teorinë e probabilitetit, një proces Poisson është një proces stokastik, rasti më i thjeshtë i të cilit përfshin "ngjarje" në kohë të rastit, kohën e pritjes deri në ndodhinë tjetër që ka një shpërndarje eksponenciale pa kujtesë dhe numrin e "ndodhjeve" në çdo interval kohor që ka një shpërndarje Poisson, pritja matematike e së cilës është e përpjesshme me gjatësinë e intervalit kohor. Le të jetë X _t numri i "ndodhive" përpara kohës t, dhe le të jetë T _x koha e pritjes deri në "ngjarjen" e x -të. Ne kërkojmë funksionin e densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastit T _x . Ne përdorim funksionin e masës së probabilitetit për shpërndarjen Poisson, i cili na tregon këtë

$\mathrm{Pr}(X_t=x)=\frac{(\lambda t{)}^x{e}^{-\lambda t}}{x!},$

ku λ është numri mesatar i dukurive në çdo interval kohor me gjatësi 1. Vëreni se ngjarja { X _t ≥ x} është e njëjtë me ngjarjen { T _x ≤ t }, dhe kështu ato kanë të njëjtin probabilitet. Intuitivisht, nëse diçka ndodh të paktën $x$ herë para kohës $t$, duhet të presim më së shumti $t$ per dukurinë e $x-te$. Funksioni i dendësisë që ne kërkojmë është pra

$\begin{array}{cc}f(t)& =\frac{d}{dt}\mathrm{Pr}(T_x\le t)=\frac{d}{dt}\mathrm{Pr}(X_t\ge x)=\frac{d}{dt}(1-\mathrm{Pr}(X_t\le x-1))\\ \\ & =\frac{d}{dt}(1-\sum _{u=0}^{x-1}\mathrm{Pr}(X_t=u))=\frac{d}{dt}(1-\sum _{u=0}^{x-1}\frac{(\lambda t{)}^u{e}^{-\lambda t}}{u!})\\ \\ & =\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}(\frac{{\lambda }^u{t}^{u-1}}{(u-1)!}-\frac{{\lambda }^{u+1}{t}^u}{u!})\end{array}$

Shuma teleskopon, duke lënë

$f(t)=\frac{{\lambda }^x{t}^{x-1}{e}^{-\lambda t}}{(x-1)!}.$