Shpërndarja Gaus–Kuzmin

Në matematikë, shpërndarja Gauss-Kuzmin është një shpërndarje diskrete probabiliteti që lind si shpërndarje e probabilitetit kufi e koeficientëve në zgjerimin e thyesës së vazhdueshme të një ndryshoreje rasti të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin $(0,1)$. Shpërndarja është emërtuar sipas Carl Friedrich Gauss, i cili e nxori atë rreth vitit 1800, dhe Rodion Kuzmin, i cili dha një kufi në shkallën e konvergjencës në 1929. Ajo jepet nga funksioni i masës së probabilitetit

$p(k)=-{\log }_2(1-\frac{1}{(1+k{)}^2}).$

Teorema Gauss – Kuzmin

Le të jetë

$x=\frac{1}{k_1+\frac{1}{k_2+\cdots }}$

zgjerimi i vazhdueshëm thyesor i një numri të rastit $x$ të shpërndarë në mënyrë uniforme në $(0,1)$. Pastaj

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}\{k_n=k\}=-{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2}).$

Në mënyrë të njëvlershme, le të jetë

$x_n=\frac{1}{k_{n+1}+\frac{1}{k_{n+2}+\cdots }};$

pastaj

${\mathrm{\Delta }}_n(s)=\mathbb{P}\{x_n\le s\}-{\log }_2(1+s)$

tenton drejt zeros kur $n$ priret në pafundësi.

Shkalla e konvergjencës

Në vitin 1928, Kuzmin dha kufirin

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C\exp (-\alpha \sqrt{n}).$

Në 1929, Paul Lévy e përmirësoi atë në

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C0.7^n.$

Më vonë, Eduard Wirsing tregoi se, për λ = 0,30366... ( konstanta Gauss–Kuzmin–Wirsing ), kufiri

$\mathrm{\Psi }(s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_n(s)}{(-\lambda {)}^n}$

ekziston për çdo $s\in [0,1]$, dhe funksioni $\mathrm{\Psi }(s)$ është analitik dhe plotëson $\mathrm{\Psi }(0)=\mathrm{\Psi }(1)=0$. Kufijtë e mëtejshëm u vërtetuan nga K.I Babenko .