Shpërndarja Landau

Në teorinë e probabilitetit, shpërndarja Landau është një shpërndarje probabiliteti që mban emrin Lev Landau . Për shkak të bishtit "të trashë" të shpërndarjes, momentet e shpërndarjes, si mesatarja ose varianca, janë të papërcaktuara. Shpërndarja është një rast i veçantë i shpërndarjes së qëndrueshme .

Përkufizimi

Funksioni i dendësisë së probabilitetit, siç është shkruar fillimisht nga Landau, përcaktohet nga integrali kompleks :

$p(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{a-i\mathrm{\infty }}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{s\log (s)+xs}ds,$

ku a është një numër real arbitrar pozitiv, që do të thotë se rruga e integrimit mund të jetë çdo paralele me boshtin imagjinar, duke kryqëzuar gjysmë-boshtin real pozitiv, dhe $\log$ i referohet logaritmit natyror . Me fjalë të tjera është transformimi Laplas i funksionit $s^s$ .

Integrali real i mëposhtëm është i barabartë me atë më lart:

$p(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\log (t)-xt}\sin (\pi t)dt.$

Familja e plotë e shpërndarjeve Landau përftohet duke zgjeruar shpërndarjen origjinale në një familje të shkallës së vendndodhjes të shpërndarjeve të qëndrueshme me parametra $\alpha =1$ dhe $\beta =1$, me funksion karakteristik :

$\phi (t;\mu ,c)=\exp (it\mu -\frac{2ict}{\pi }\log |t|-c|t|)$

ku $c\in (0,\mathrm{\infty })$ dhe $\mu \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, e cila jep një funksion dendësie si më poshtë:

$p(x;\mu ,c)=\frac{1}{\pi c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\cos (t\left(\frac{x-\mu }{c}\right)+\frac{2t}{\pi }\log \left(\frac{t}{c}\right))dt,$

Vetitë

Funksioni i përafrimit për $\mu =0,c=1$

• Përkthimi: Nëse $X\sim \text{Landau}(\mu ,c)$ atëherë $X+m\sim \text{Landau}(\mu +m,c)$ .
• Shkallëzimi: Nëse $X\sim \text{Landau}(\mu ,c)$ atëherë $aX\sim \text{Landau}(a\mu -\frac{2ac\log (a)}{\pi },ac)$ .
• Shuma: Nëse $X\sim \text{Landau}({\mu }_1,c_1)$ dhe $Y\sim \text{Landau}({\mu }_2,c_2)$ atëherë $X+Y\sim \text{Landau}({\mu }_1+{\mu }_2,c_1+c_2)$ .