Shpërndarja e Studentit matricore

Në statistikë, shpërndarja t matricore është përgjithësimi i shpërndarjes së Studentit shumëndryshore nga vektorët tek matricat . t -shpërndarja matricë ndan të njëjtën marrëdhënie me shpërndarjen t shumëndryshore që shpërndarja normale matricore ndan me shpërndarjen normale shumëndryshore .  Për shembull, shpërndarja t matricore është shpërndarja e përbërë që rezulton nga marrja e zgjedhjeve nga një shpërndarje normale e matricës që ka marrë zgjedhjen e matricës së kovariancës së matricës normale nga një shpërndarje e anasjelltë Wishart . 

Në një analizë Bayesian të një modeli regresioni linear shumëndryshor të bazuar në shpërndarjen normale të matricës, shpërndarja t matricore është shpërndarja parashikuese e pasme .

E ç'është shpërndarja t matricore?i

Për një shpërndarje t matricore, funksioni i dendësisë së probabilitetit në pikë $𝐗$ i nje hapësire $n\times p$ është

$f(𝐗;\nu ,𝐌,\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Omega })=K\times {|{𝐈}_n+{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐗-𝐌){\mathrm{\Omega }}^{-1}(𝐗-𝐌{)}^{\mathrm{T}}|}^{-\frac{\nu +n+p-1}{2}},$

ku konstanta e integrimit K jepet nga

$K=\frac{{\mathrm{\Gamma }}_p\left(\frac{\nu +n+p-1}{2}\right)}{(\pi {)}^{\frac{np}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_p\left(\frac{\nu +p-1}{2}\right)}|\mathrm{\Omega }{|}^{-\frac{n}{2}}|\mathrm{\Sigma }{|}^{-\frac{p}{2}}.$

Këtu ${\mathrm{\Gamma }}_p$ është funksioni gama shumëndryshor .

Shpërndarja e përgjithësuar

Trajta e përgjithësuar e kësaj shpërndarje jepet sipas:

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}_p(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta {)}^{\frac{np}{2}}{\mathrm{\Gamma }}_p(\alpha )}|\mathrm{\Omega }{|}^{-\frac{n}{2}}|\mathrm{\Sigma }{|}^{-\frac{p}{2}}\times {|{𝐈}_n+\frac{\beta }{2}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐗-𝐌){\mathrm{\Omega }}^{-1}(𝐗-𝐌{)}^{\mathrm{T}}|}^{-(\alpha +n/2)}$

ku :

• $M$ - vendndodhja- një matricë reale $n\times p$
• $\mathrm{\Omega }$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $p\times p$
• $\mathrm{\Sigma }$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $n\times n$
• $\alpha >\frac{p-1}{2}$ parametri i formës
• $\beta >0$ parametri i shkallës

Matrica e përgjithësuar t - shpërndarja është një përgjithësim i matricës t - shpërndarjes me dy parametra α dhe β në vend të ν .

Kjo zvogëlohet në shpërndarjen t matricore me $\beta =2,\alpha =\frac{\nu +p-1}{2}.$

Vetitë

Nëse $𝐗\sim {\mathrm{T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,𝐌,\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Omega })$ atëherë

${𝐗}^{\mathrm{T}}\sim {\mathrm{T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,{𝐌}^{\mathrm{T}},\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma }).$

Vetia e mësipërme vjen nga teorema e Silvesterit për përcaktorët :

$\det ({𝐈}_n+\frac{\beta }{2}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(𝐗-𝐌){\mathrm{\Omega }}^{-1}(𝐗-𝐌{)}^{\mathrm{T}})=$

$\det ({𝐈}_p+\frac{\beta }{2}{\mathrm{\Omega }}^{-1}({𝐗}^{\mathrm{T}}-{𝐌}^{\mathrm{T}}){\mathrm{\Sigma }}^{-1}({𝐗}^{\mathrm{T}}-{𝐌}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}).$

Nëse $𝐗\sim {\mathrm{T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,𝐌,\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Omega })$ dhe $𝐀(n\times n)$ dhe $𝐁(p\times p)$ atëherë janë matrica jo të anasjellta 

$𝐀𝐗𝐁\sim {\mathrm{T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,𝐀𝐌𝐁,𝐀\mathrm{\Sigma }{𝐀}^{\mathrm{T}},{𝐁}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Omega }𝐁).$

Funksioni karakteristik është

${\varphi }_T(𝐙)=\frac{\exp (\mathrm{t}\mathrm{r}(i{𝐙}^{\prime }𝐌))|\mathrm{\Omega }{|}^{\alpha }}{{\mathrm{\Gamma }}_p(\alpha )(2\beta {)}^{\alpha p}}|{𝐙}^{\prime }\mathrm{\Sigma }𝐙{|}^{\alpha }{B}_{\alpha }\left(\frac{1}{2\beta }{𝐙}^{\prime }\mathrm{\Sigma }𝐙\mathrm{\Omega }\right),$

ku

$B_{\delta }(𝐖𝐙)=|𝐖{|}^{-\delta }\underset{𝐒>0}{\int }\exp (\mathrm{t}\mathrm{r}(-𝐒𝐖-{𝐒}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐙))|𝐒{|}^{-\delta -\frac{1}{2}(p+1)}d𝐒,$

dhe ku $B_{\delta }$ është funksioni i tipit dy Bessel i Herzit  i një argumenti matricor.