Shpërndarja e arksinusit

Në teorinë e probabilitetit, shpërndarja e arksinusit është shpërndarja e probabilitetit, funksioni mbledhës i shpërndarjes të së cilës përfshin arksinusin dhe rrënjën katrore :

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{\arcsin (2x-1)}{\pi }+\frac{1}{2}$

për 0 ≤ x ≤ 1, dhe funksioni i densitetit të probabilitetit të të cilit është

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$

në $(0,1)$. Shpërndarja standarde e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes beta me $\alpha =\beta =1/2$. Kjo është, nëse $X$ është një ndryshore e rastit me ligj arksinusi, atëherë $X\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Sipas shtrirjes, shpërndarja e arksinusit është një rast i veçantë i shpërndarjes së tipit I të Pearson .

Përgjithësim

BP e kufizuar arbitrarisht

Shpërndarja mund të zgjerohet për të përfshirë çdo bashkësi përcaktimi të kufizuar nga $a\le x\le b$ me një transformim të thjeshtë

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)$

për një $a\le x\le b$, dhe funksioni i densitetit probabilitar të të cilit është

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x-a)(b-x)}}$

në $(a,b)$.

Faktori i formës

Shpërndarja standarde e përgjithësuar e arksinusit në intervalin $(0,1)$ me funksion të densitetit të probabilitetit

$f(x;\alpha )=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi }{x}^{-\alpha }(1-x{)}^{\alpha -1}$

është gjithashtu një rast i veçantë i shpërndarjes beta me parametra $\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$ .

Vetitë

• Shpërndarja e arksinusit është e mbyllur nën translatim dhe shkallëzim me një faktor pozitiv
  • Nëse $X\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(a,b)\text{atëherë }kX+c\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(ak+c,bk+c)$
• Katrori i një shpërndarjeje arksinusi mbi $(-1,1)$ ka shpërndarje arksine mbi $(0,1)$
  • Nëse $X\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-1,1)\text{atëherë }{X}^2\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(0,1)$
• Koordinatat e pikave të zgjedhura në mënyrë të njëtrajtshme në një rreth me rreze $r$ me qendër në origjinë $(0,0)$, kanë një shpërndarje $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-r,r)$
  • Për shembull, nëse zgjedhim një pikë në mënyrë të njëtrajtshme në perimetër, $U\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(0,2\pi r)$, marrim shpërndarjen e koordinatave x të pikës është $r\cdot \cos (U)\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-r,r)$, dhe shpërndarja e koordinatave y të saj është $r\cdot \sin (U)\sim \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-r,r)$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $U$ dhe $V$ janë ndryshore rasti iid uniforme $(-\pi ,\pi )$, atëherë $\sin (U)$, $\sin (2U)$, $-\cos (2U)$, $\sin (U+V)$ dhe $\sin (U-V)$ të gjithë kanë një shpërndarje $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}(-1,1)$.
• Nëse $X$ është shpërndarja e përgjithësuar e arksinusit me parametrin e formës $\alpha$ mbështetur në intervalin e fundëm $[a,b]$ atëherë $\frac{X-a}{b-a}\sim \mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}(1-\alpha ,\alpha )$
• Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(0,1)$ atëherë $\frac{1}{1+X^2}$ ndjek një shpërndarje standarde arksinusi.

Aplikacion

Shpërndarja e arksinusit gjen zbatim në formimin e rrezeve dhe sintezën e modelit. Është gjithashtu dendësia klasike e probabilitetit për oshilatorin e thjeshtë harmonik .