Shpërndarja e ngritur e kosinusit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e ngritur e kosinusit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e mbështetur në intervalin $[\mu -s,\mu +s]$ . Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF) është

$f(x;\mu ,s)=\frac{1}{2s}[1+\cos \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]=\frac{1}{s}\mathrm{hvc}\left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)$

për $\mu -s\le x\le \mu +s$ dhe zero ndryshe. Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF) është

$F(x;\mu ,s)=\frac{1}{2}[1+\frac{x-\mu }{s}+\frac{1}{\pi }\sin \left(\frac{x-\mu }{s}\pi \right)]$

për $\mu -s\le x\le \mu +s$ dhe zero për $x<\mu -s$ dhe unitetin për $x>\mu +s$ .

Momentet e shpërndarjes së ngritur të kosinusit janë disi të të ndërlikuara në rastin e përgjithshëm, por janë thjeshtuar ndjeshëm për shpërndarjen standarde të kosinusit të ngritur. Shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është vetëm shpërndarja e kosinusit të ngritur me $\mu =0$ dhe $s=1$ . Për shkak se shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është një funksion çift, momentet tek janë zero. Momentet çift jepen nga:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(x^{2n})& =\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[1+\cos (x\pi )]x^{2n}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n}\mathrm{hvc}(x\pi )dx\\ & =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{1+2n}{}_1{F}_2(n+\frac{1}{2};\frac{1}{2},n+\frac{3}{2};\frac{-{\pi }^2}{4})\end{array}$

ku ${}_1{F}_2$ është një funksion hipergjeometrik i përgjithësuar .