Shuma Ramanuxhan

Shuma Ramanujan ose sipas Ramanuxhanit është një teknikë e shpikur nga matematikani Srinivasa Ramanujan për caktimin e një vlere për seritë e pafundme divergjente . Megjithëse shuma Ramanuxhan e një serie divergjente nuk është një shumë në kuptimin tradicional, ai ka veti që e bëjnë atë matematikisht të dobishëm në studimin e serive të pafundme divergjente, për të cilat shumimi konvencional është i papërcaktuar.

Përmbledhja

Meqenëse nuk ka veti të një shume të tërë, shuma Ramanuxhan funksionon si një veti e shumave të pjesshme. Nëse marrim formulën e mbledhjes së Euler-Maclaurin së bashku me rregullin e korrigjimit duke përdorur numrat e Bernulit, shohim se:  

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+\frac{1}{2}f(n)& =\frac{f(0)+f(n)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(k)-\frac{f(0)+f(n)}{2}\\ & =\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)]+R_p\end{array}$

Ramanujan e shkroi këtë përsëri për kufij të ndryshëm të integralit dhe shumës përkatëse për rastin në të cilin p shkon në pafundësi :

$\sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)$

ku C është një konstante specifike e serisë dhe vazhdimi i saj analitik dhe kufijtë në integral nuk u specifikuan nga Ramanuxhani, por me sa duket ata ishin siç u dha më sipër. Duke krahasuar të dyja formulat dhe duke supozuar se R priret në 0 pasi x priret në pafundësi, shohim se, në një rast të përgjithshëm, për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 0:

$C(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0)$

ku Ramanuxhani supozoi $a=0.$ Duke marrë $a=\mathrm{\infty }$ ne zakonisht rikuperojmë përmbledhjen e zakonshme për seritë konvergjente. Për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 1, marrim:

$C(a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}f(t)dt+\frac{1}{2}f(1)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(1)$

Versioni konvergjent i përmbledhjes për funksionet me kusht të duhur të rritjes është atëherë:

$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-\frac{f(0)}{2}+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}dt$

Përmbledhja Ramanujan e serive divergjente

Në tekstin e mëposhtëm, $(\Re )$ nënkupton "Shuma Ramanuxhan". Kjo formulë fillimisht u shfaq në një nga fletoret e Ramanuxhanit, pa ndonjë shënim që tregonte se ajo ilustron një metodë të re përmbledhjeje.

Për shembull, $(\Re )$ nga Stampa:Nowrap është:

$1-1+1-\cdots =\frac{1}{2}(\Re ).$

Ramanujan kishte llogaritur "shumat" e serive të njohura divergjente. Është e rëndësishme të përmendet se shumat Ramanuxhan nuk janë shumat e serisë në kuptimin e zakonshëm, dmth shumat e pjesshme nuk konvergjojnë në këtë vlerë, e cila shënohet me simbolin $(\Re ).$ Në veçanti, $(\Re )$ shuma e Stampa:Nowrap është llogaritur si:

$1+2+3+\cdots =-\frac{1}{12}(\Re )$

Duke u shtrirë edhe në fuqi pozitive, kjo dha:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0(\Re )$

dhe për fuqitë teke qasja sugjeroi një lidhje me numrat e Bernulit të trajtës:

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-\frac{B_{2k}}{2k}(\Re )$

Është propozuar të përdoret C (1) në vend të C (0) si rezultat i shumës së Ramanuxhanit, që atëherë mund të sigurohet se një seri ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ pranon një dhe vetëm një mbledhje të Ramanuxhanit, të përcaktuar si vlera në 1 e zgjidhjes së vetme të ekuacionit me diferenca $R(x)-R(x+1)=f(x)$ që vërteton gjendjen ${\int }_1^{2}R(t)dt=0$ .

$\sum _{n\ge 1}^{\Re }f(n)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\underset{1}{\overset{N}{\int }}f(t)dt]$

Në veçanti kemi:

$\sum _{n\ge 1}^{\Re }\frac{1}{n}=\gamma$

ku γ është konstantja Euler–Mascheroni .