Spani linear

Rrafshi ⁱ çelur kryq është hapësira lineare e u dhe v në R³ .

Në matematikë, span linear (e quajtur edhe direku linear ose thjesht shtrirja ) i një grupi vektorësh Stampa:Mvar (nga një hapësirë vektoriale ), e shënuar Stampa:Math, përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve në Stampa:Mvar Për shembull, dy vektorë të pavarur linearisht shtrihen në një rrafsh . Hapësira lineare mund të karakterizohet ose si prerje e të gjitha nënhapësirave lineare që përmbajnë Stampa:Mvar, ose si nënhapësirë më e vogël që përmban Stampa:Mvar. Hapësira lineare e një grupi vektorësh është pra vetë një hapësirë vektoriale. Hapësirat mund të përgjithësohen në matroide dhe module.

Për të shprehur se një hapësirë vektoriale Stampa:Mvar është një hapësirë lineare e një nëngrupi Stampa:Mvar, zakonisht përdoren frazat e mëposhtme - ose: Stampa:Mvar span (gjeneron) Stampa:Mvar, S është një bashkësi e shtrirjes së Stampa:Mvar, Stampa:Mvar shtrihet/gjenerohet nga Stampa:Mvar, ose S është një gjenerator ose bashkësi gjeneratore e V.

Përkufizimi

Duke pasur parasysh një hapësirë vektoriale V mbi një fushë K, hapësira e një bashkësie vektorësh S (jo domosdoshmërisht e fundme) përcaktohet të jetë prerja W e të gjitha nënhapësirave të V që përmbajnë S. W-së i referohet si nënhapësirë e shtrirë nga S, ose nga vektorët në S . Anasjelltas, S quhet një bashkësi shtrirëse e W, dhe ne themi se S span W .

Përndryshe, hapësira e S mund të përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve të fundme lineare të elementeve (vektorëve) të S, që rrjedh nga përkufizimi i mësipërm.

$$\mathrm{span}(S)=\left\{\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{𝐯}_i|k\in \mathbb{N},{𝐯}_i\in S,{\lambda }_i\in K\right\}.$$

Shembuj

Hapësira reale vektoriale ${ℝ}^3$ ka {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} si një bashkësi i të shtrirjes. Ky grup i veçantë përfshin gjithashtu një bazë . Nëse (−1, 0, 0) do të zëvendësohej me (1, 0, 0), do të përbënte gjithashtu bazën kanonike të ${ℝ}^3$ .

Një grup tjetër shtrirje për të njëjtën hapësirë jepet nga {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,Stampa:Frac, 3), (1, 1, 1)}, por kjo bashkësi nuk është bazë, sepse është linearisht e varur .

Bashkësia e monomëve xⁿ, ku n është një numër i plotë jo negativ, përfshin hapësirën e polinomeve .