Teorema e Ceva's

Teorema e Ceva’s

Një nga teoremat më të rëndësishme dhe bazike në gjeometrine Euklidiane është " Teorema e Ceva's", e cila rradhitet në teoremat e konkurencave të drejtëzave, përkatësisht ka të beje me konkurencë ne nje trekëndësh.

Historia

Teorema e Ceva’s është publikuar në vitin 1678 nga Giovani Ceva .

Teorema

• Dy ose më shumë drejtëza që pritën në një pikë të vetme do ti quajmë konkurente.

Le te jenë $X$ ,$Y$ ,$Z$ pika që u takojnë brinjëve $BC$,$AC$ ,$AB$ (respektivisht) të trekëndeshit $ABC$, ashtu që segmentet $AX$, $BY$, $CZ$ të jenë konkurente atehere vlen sa 1e 2:

$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=1$

Teorema e Ceva's

Vërtetimi

Le ti shënojm me $ha$, $hb$,$hc$ lartësitë e lëshuara nga kulmet $A$, $B$, $C$ në brinjët $a$, $b$ dhe $c$ respektivisht . Dhe me $Pa$, $Pb$, $Pc$ lartësitë e lëshuara nga pika $P$ në brinjët $a$, $b$, $c$ respektivisht.

Dhe le ta shënojm syprinen e trekëndëshit $ABC$ me $(ABC)$ . Atëherë kemi:

$\frac{BX}{XC}=\frac{BX}{XC}\cdot \frac{ha}{ha}=\frac{2(ABX)}{2(AXC)}=\frac{(ABX)}{(AXC)}$

$\frac{BX}{XC}=\frac{BX}{XC}\cdot \frac{Pa}{Pa}=\frac{2(BPX)}{2(XPC)}=\frac{(BPX)}{(XPC)}$

Nga dy barazimet e fundit kemi:

$\frac{BX}{XC}=\frac{(ABX)}{(AXC)}=\frac{(BPX)}{(XPC)}=\frac{(ABX)-(BPX)}{(AXC)-(XPC)}=\frac{(ABP)}{(APC)}.......(1)$

Ngjashëm kemi se:

$\frac{CY}{YA}=\frac{(BPC)}{(ABP)}........(2)$

$\frac{AZ}{ZB}=\frac{(APC)}{(BPC)}........(3)$

Duke shumëzuar anë për anë shprehjet $(1)$ , $(2)$ dhe $(3)$ kemi:

$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=\frac{(ABP)}{(APC)}\cdot \frac{(BPC)}{(ABP)}\cdot \frac{(APC)}{(BPC)}=1$

Teorema e Ceva’s ka përdorim të madh ,kjo teorem mund të përdoret për të treguar se lartësitë, medianet apo përgjysmoret e këndeve të trekëndëshit priten në një pike.

Referimet

[Art of problem solving(aops)]

[Geometry Revisited -H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer]

--Qëndresa Kodraliu (diskutimet) 8 qershor 2014 23:36 (CEST)