Teorema e Grinit

Në llogaritjen vektoriale, teorema e Grinit lidh një vijë integrale rreth një lakore të thjeshtë të mbyllur C me një integral të dyfishtë mbi zonën e rrafshët D të kufizuar nga C . Është rasti i veçantë dydimensional i teoremës së Stoksit .

Teorema

Le të jetë $C$ një kurbë e orientuar pozitivisht, pjesë-pjesë e lëmuar, e thjeshtë e mbyllur në një rrafsh, dhe le të jetë $D$ rajoni i kufizuar nga $C$ . Nëse $L$ dhe $M$ janë funksione të $(x,y)$ të përcaktuara në një rajon të hapur që përmban $D$ dhe kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme, atëherë$${\oint }_C(Ldx+Mdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dxdy$$ku rruga e integrimit përgjatë $C$ është kundërorar .

Në fizikë, teorema e Green gjen zbatime të shumta. Njëra është zgjidhja e integraleve të rrjedhës dydimensionale, duke deklaruar se shuma e lëngut që del nga një vëllim është e barabartë me daljen totale të përmbledhur rreth një zone rrethuese. Në gjeometrinë e rrafshët, dhe në veçanti, rilevimin e zonës, teorema e Green-it mund të përdoret për të përcaktuar sipërfaqen dhe qendrën e figurave të rrafshnaltës vetëm duke integruar mbi perimetrin.

Marrëdhënia me teoremën e Stoksit

Teorema e Grinit është një rast i veçantë i teoremës Kelvin-Stoks, kur zbatohet në një rajon të rrafshit $xy$ .

Ne mund ta shtojmë fushën dy-dimensionale në një fushë tredimensionale me një përbërës $z$ që është gjithmonë 0. Shkruani $𝑭$ për funksionin me vlerë vektoriale $𝐅=(L,M,0)$ . Filloni me anën e majtë të teoremës së Grinit:$${\oint }_C(Ldx+Mdy)={\oint }_C(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)={\oint }_C𝐅\cdot d𝐫.$$Teorema Kelvin-Stoks:$${\oint }_C𝐅\cdot d𝐫=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}dS.$$Siperfaqja $S$ është vetëm rajoni në rrafshin $D$, me njësinë normale $\widehat{𝐧}$ përkufizohet (me marrëveshje) të ketë një përbërës pozitiv $z$ në mënyrë që të përputhet me përkufizimet e "orientimit pozitiv" për të dyja teoremat.

Shprehja brenda integralit bëhet$$\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}=[(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial M}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{\partial 0}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})𝐤]\cdot 𝐤=(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}).$$Kështu marrim anën e djathtë të teoremës së Grinit$$\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}dS=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA.$$Teorema e Grinit është gjithashtu një rezultat i drejtpërdrejtë i teoremës së përgjithshme të Stoksit duke përdorur forma diferenciale dhe derivatet e jashtme :$${\oint }_{C}Ldx+Mdy={\oint }_{\partial D}\omega =\underset{D}{\int }d\omega =\underset{D}{\int }\frac{\partial L}{\partial y}dy\wedge dx+\frac{\partial M}{\partial x}dx\wedge dy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dxdy.$$