Teorema e majmunit të pafundëm

Një shimpanze e ulur në një makinë shkrimi

Teorema e majmunit të pafundëm thotë se një majmun i cili godet rastësisht tastet në tastierën e një makine shkrimi për një kohë të pafundme, pothuajse me siguri do të shtypë çdo tekst të caktuar, duke përfshirë veprat e plota të William Shakespeare . Në fakt, majmuni pothuajse me siguri do të shtypte çdo tekst të mundshëm me gjatësi të fundme, çdonjërin një numër të pafundëm herësh. Teorema mund të përgjithësohet për të deklaruar se çdo varg ngjarjesh që ka një probabilitet jo zero për të ndodhur pothuajse me siguri do të ndodhë herët a vonë, duke pasur parasysh një kohë të pakufizuar.

Në këtë kontekst, "pothuajse me siguri" është një term matematik që do të thotë se ngjarja ndodh me probabilitetin 1, dhe "majmuni" nuk është një majmun aktual, por një metaforë për një pajisje abstrakte që prodhon një varg të rastit të pafundëm shkronjash dhe simbolesh. Variantet e teoremës përfshijnë shumë dhe madje pafundësisht shumë daktilografistë, dhe teksti nën shënjestër ndryshon midis një biblioteke të tërë dhe një fjalie të vetme.

Një nga rastet më të hershme të përdorimit të "metaforës së majmunit" është ai i matematikanit francez Émile Borel në 1913, por rasti i parë mund të ketë qenë edhe më herët. Jorge Luis Borges e gjurmoi historinë e kësaj ideje që nga vepra e Aristotelit "Për gjeneratën dhe korrupsionin" dhe "De Natura Deorum"-in e Ciceronit (Për natyrën e perëndive), përmes Blez Paskalit dhe Xhonatan Suiftit, deri te deklaratat moderne me simianët dhe makinat e tyre. Në fillim të shekullit të 20-të, Borel dhe Arthur Eddington përdorën teoremën për të ilustruar afatet kohore të nënkuptuara në themelet e mekanikës statistikore .

Zgjidhje

Prova e drejtpërdrejtë

Ekziston një provë e drejtpërdrejtë e kësaj teoreme. Si hyrje, kujtoni se nëse dy ngjarje janë statistikisht të pavarura, atëherë probabiliteti që të dyja të ndodhin është i barabartë me prodhimin e probabiliteteve që secila të ndodhë në mënyrë të pavarur. Për shembull, nëse mundësia e shiut në Moskë në një ditë të caktuar është 0,4 dhe mundësia e një tërmeti në San Francisko në një ditë të caktuar është 0,00003, atëherë mundësia që të dyja të ndodhin në të njëjtën ditë është Stampa:Nowrap, duke supozuar se ato janë vërtet të pavarura.

Merrni parasysh mundësinë e shtypjes së fjalës "banane" në një makinë shkrimi me 50 taste. Supozoni se butonat janë shtypur në mënyrë të rastësishme dhe të pavarur, që do të thotë se çdo çelës ka një shans të barabartë për t'u shtypur, pavarësisht se çfarë tastesh ishin shtypur më parë. Mundësia që shkronja e parë e shtypur të jetë 'b' është 1/50, dhe mundësia që shkronja e dytë e shtypur të jetë 'a' është gjithashtu 1/50, e kështu me radhë. Prandaj, probabiliteti që gjashtë shkronjat e para të shqiptojnë banane është

$\frac{1}{50}\times \frac{1}{50}\times \frac{1}{50}\times \frac{1}{50}\times \frac{1}{50}\times \frac{1}{50}=$ $(\frac{1}{50}{)}^6$ $=\frac{1}{15,625,000,000}$

Më pak se një në 15 miliardë, por jo zero.

Nga sa më sipër, mundësia për të mos shtypur banane në një bllok të caktuar prej 6 shkronjash është $1-(\frac{1}{50}{)}^6$ . Për shkak se çdo bllok me 6 shkronja shtypet në mënyrë të pavarur, mundësia $X_n$ për të mos shtypur banane në asnjë nga $n$ blloqet e para me 6 shkronja është:

$X_n={(1-\frac{1}{50^6})}^n.$

Ndërsa $n$ rritet, $X_n$ bëhet më e vogël. Për $n=\text{1 milion}$, $X_n$ është afërsisht 0,9999, por për $n=\text{10 miliardë}$ $X_n$ është afërsisht 0,53 dhe për $n=\text{100 miliardë}$ është afërsisht 0.0017. Ndërsa $n$ i afrohet pafundësisë, probabiliteti $X_n$ _i afrohet zeros; domethënë, duke e bërë $n$ mjaft të madhe, $X_n$ mund të bëhet aq i vogël sa të dëshirohet, dhe mundësia për të shtypur banane i afrohet 100%. Stampa:Efn Kështu, probabiliteti që fjala banane të shfaqet në një moment në një varg të pafundëm goditjesh të tasteve është i barabartë me një.