Ëndrra e sofomorit

Në matematikë, ëndrra e vitdytistit është çifti i identiteteve (sidomos i pari)

$$\begin{array}{cccc}& \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\\ & \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\end{array}$$ zbuluar në 1697 nga Johann Bernoulli .

Vlerat numerike të këtyre konstantave janë afërsisht 1.291285997... dhe 0.7834305107... , respektivisht.

Emri "ëndrra e studentit të dytë" është në kontrast me emrin " ëndrra e vitparistit " që i është dhënë identitetit të pasaktë Stampa:Nowrap Ëndrra e studentit të vitit të dytë ka një ndjenjë të ngjashme shumë-e mirë-për-të-qenë-e vërtetë, por është e vërtetë.

Prova

Grafiku i funksioneve y = x^x (e kuqe, më e ulët) dhe y = x^−x (gri, sipër) në intervalin x ∈ (0, 1 ] .

Provat e dy identiteteve janë krejtësisht analoge, kështu që këtu është paraqitur vetëm prova e të dytit. Përbërësit kryesorë të provës janë:

• për të shkruar $x^x=\exp (x\ln x)$ (duke përdorur shënimin ln për logaritmin natyror dhe exp për funksionin eksponencial );
• të zgjerohet $\exp (x\ln x)$ duke përdorur serinë e fuqive për exp ; dhe
• për të integruar term-për-term, duke përdorur integrimin me zëvendësim .

Në detaje, Stampa:Math mund të zgjerohet si

$$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}.$$

Prandaj,

$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$$

Nga konvergjenca e njëtrajtshme e serisë së fuqisë, mund të shkëmbehet shuma dhe integrimi për të dhënë

$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$$

Për të vlerësuar integralet e mësipërme, mund të ndryshohet ndryshorja në integral nëpërmjet zëvendësimit $x=\exp (-\frac{u}{n+1}).$ Me këtë zëvendësim, kufijtë e integrimit transformohen në $0<u<\mathrm{\infty },$ duke dhënë identitetin $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du.$$ Nga identiteti integral i Euler-it për funksionin Gamma, një ka $$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!,$$ kështu që $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$$