Divergjenca

Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika $(x,y)$ është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - $x$ të komponentit $x$ dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - $y$ - të komponentit $y$ në atë kohë pika: $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐕(x,y))=\frac{\partial V_x(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial V_y(x,y)}{\partial y}$

Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

Divergjenca në një pikë $x$ është limiti i raportit të fluksit $\mathrm{\Phi }$ përmes sipërfaqes $S_i$ (shigjeta të kuqe) tek vëllimi $|V_i|$ për çdo varg të rajoneve të mbyllura $V_1,V_2,V_3...$ që mbyllin $x$ i cili i afrohet vëllimit zero:
$\mathrm{div}𝐅=\underset{|V_i|\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Phi }(S_i)}{|V_i|}$

Divergjenca e një fushe vektoriale $𝑭\mathit{(}𝒙\mathit{)}$ në një pikë $x_0$ përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së $𝑭$ jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi $V$ që mbyll $x_0$ me vëllimin e $V$, ndërsa $V$ tkurret në zero

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝑭{\mathit{|}}_{{𝒙}_0}=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{1}{|V|}{\text{∯}}_{S(V)}𝑭\cdot \widehat{𝒏}\text{ d}S$

ku $|V|$ është vëllimi i $V$, $S(V)$ është kufiri i $V$, and $\widehat{𝐧}$ është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë $x_0$ dhe i afrohen zeros. Rezultati, $\mathrm{div}F$, është një funksion skalar i $x$.

Përkufizimi në koordinata

Koordinatat karteziane

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme $𝐅=F_x𝐢+F_y𝐣+F_z𝐤$ përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot (F_x,F_y,F_z)=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Koordinatat cilindrike

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

$𝐅={𝐞}_r{F}_r+{𝐞}_{\theta }{F}_{\theta }+{𝐞}_z{F}_z,$

ku ${\mathbf{\text{e}}}_a$ është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{F}_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh $\overrightarrow{x}$ si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet $r(\overrightarrow{x})$, $\theta (\overrightarrow{x})$ dhe $z(\overrightarrow{x})$, të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. $r(𝐅(𝐱))\ne F_r(𝐱)$, $\theta (𝐅(𝐱))\ne F_{\theta }(𝐱)$, dhe $z(𝐅(𝐱))\ne F_z(𝐱)$ . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit $𝑭(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}$, gjejmë se:

$\theta (𝐅(𝐱))=\theta \ne F_{\theta }(𝐱)=0$ .

Koordinatat sferike

Në koordinatat sferike, me $\theta$ këndin me boshtin $z$ dhe $\phi$ rrotullimin rreth boshtit $z$, dhe $F$ përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2{F}_r\right)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta F_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }.$

Vetitë

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

$\mathrm{div}(a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{div}𝐅+b\mathrm{div}𝐆$

për të gjitha fushat vektoriale $𝑭$ dhe $𝑮$ dhe të gjithë numrat realë $a$ dhe $b$ .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse $\phi$ është një funksion me vlera skalare dhe $F$ është një fushë vektoriale, atëherë

$\mathrm{div}(\phi 𝐅)=\mathrm{grad}\phi \cdot 𝐅+\phi \mathrm{div}𝐅,$

ose në shënime më sugjestive

$\mathrm{\nabla }\cdot (\phi 𝐅)=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot 𝐅+\phi (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅).$

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale $𝑭$ dhe $𝑮$ në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

$\mathrm{div}(𝐅\times 𝐆)=\mathrm{curl}𝐅\cdot 𝐆-𝐅\cdot \mathrm{curl}𝐆,$

ose

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅\times 𝐆)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐆).$

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi )=\mathrm{\Delta }\phi .$

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=0.$