Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Në analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjidhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

Historia

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në vitin 1750 nga Ojleri dhe Lagranzhi në studimin e tyre per problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e kurbes përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerë në një pikë te fiksuar per një kohë të caktuar, pavaresisht nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe ia dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.

Pohimi

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit

$S(q)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}L(t,q(t),q^{\prime }(t))\mathrm{d}t$

ku :

• q është funksioni që duhet gjetur :
• :$\begin{array}{cc}q:[a,b]\subset ℝ& \to X\\ t& \mapsto x=q(t)\end{array}$

i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = x_a, dhe q(b) = x_b;

• q′ është derivati i q:

  $\begin{array}{cc}{q}^{\prime }:[a,b]& \to TX\\ t& \mapsto v=q^{\prime }(t)\end{array}$

TX ështe tufa e tangjenteve të X (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;

• L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :

  $\begin{array}{cc}L:[a,b]\times X\times TX& \to ℝ\\ (t,x,v)& \mapsto L(t,x,v).\end{array}$

Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem

$L_x(t,q(t),q^{\prime }(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{L}_v(t,q(t),q^{\prime }(t))=0.$

ku L_x dhe L_v tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :

$\frac{\partial L(t,q(t),q^{\prime }(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q^{\prime }(t))}{\partial v_i}=0\text{for }i=1,\dots ,n.$

Prova

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion $f$ i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit

$J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,f(x),f^{\prime }(x))dx.$

Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).

Le të jetë g_ε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë

$J(ϵ)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,g_{ϵ}(x),{g_{\epsilon }}^{\prime }(x))dx.$

Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me ε

$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}\epsilon }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}ϵ}(x,g_{\epsilon }(x),{g_{\epsilon }}^{\prime }(x))dx.$

Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}ϵ}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \epsilon }+\frac{\partial F}{\partial g_{\epsilon }}\frac{\partial g_{\epsilon }}{\partial \epsilon }+\frac{\partial F}{\partial g{\text{'}}_{\epsilon }}\frac{\partial g{\text{'}}_{\epsilon }}{\partial \epsilon }=\eta (x)\frac{\partial F}{\partial g_{\epsilon }}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial {g_{\epsilon }}^{\prime }}.$

Kështu që

$\frac{\mathrm{d}J}{\mathrm{d}ϵ}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial g_{\epsilon }}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial {g_{\epsilon }}^{\prime }}]dx.$

Kur ε = 0 ne kemi g_ε = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.

$J^{\prime }(0)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial f}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]dx=0.$

Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep

$0=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]\eta (x)dx+{[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]}_a^b.$

Duke zbatuar kondiatat kufitare tek η, ne marrim

$0=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]\eta (x)dx.$

Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit

$0=\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}.$

Provë alternative

Po te kemi një funksional

$J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(t,y(t),y^{\prime }(t))dt$

tek $C^1([a,b])$ me kondita kufitare $y(a)=A$ edhe $y(b)=B$, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale $n$ segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin $[a,b]$ në $n+1$ segmente të njëjta me pika kufitare $t_0=a,t_1,t_2,\dots ,t_n,t_{n+1}=b$ dhe le të jetë $\mathrm{\Delta }t=t_k-t_{k-1}$. Në vend ten je funksoni të lëmuar $y(t)$ marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse $(t_0,y_0),\dots ,(t_{n+1},y_{n+1})$, ku $y_0=A$ dhe $y_{n+1}=B$. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i $n$ variablave të dhëna nga

$J(y_1,\dots ,y_n)=\sum _{k=0}^{n}F(t_k,y_k,\frac{y_{k+1}-y_k}{\mathrm{\Delta }t})\mathrm{\Delta }t.$

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret $t_0,\dots ,t_{n+1}$ që i korrespondojnë e pikave ku

$\frac{\partial J(y_1,\dots ,y_n)}{\partial y_m}=0.$

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim

$\frac{\partial J}{\partial y_m}=F_y(t_m,y_m,\frac{y_{m+1}-y_m}{\mathrm{\Delta }t})\mathrm{\Delta }t+F_{y^{\prime }}(t_{m-1},y_{m-1},\frac{y_m-y_{m-1}}{\mathrm{\Delta }t})-F_{y^{\prime }}(t_m,y_m,\frac{y_{m+1}-y_m}{\mathrm{\Delta }t}).$

Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me $\mathrm{\Delta }t$ marrim

$\frac{\partial }{\partial y_m\mathrm{\Delta }t}=F_y(t_m,y_m,\frac{y_{m+1}-y_m}{\mathrm{\Delta }t})-\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}[F_{y^{\prime }}(t_m,y_m,\frac{y_{m+1}-y_m}{\mathrm{\Delta }t})-F_{y^{\prime }}(t_{m-1},y_{m-1},\frac{y_m-y_{m-1}}{\mathrm{\Delta }t})],$

dhe duke marrë limitin kur $\mathrm{\Delta }t\to 0$ te anës së djathtë të shprehjes marrim

$\frac{\delta J}{\delta y}=F_y-\frac{d}{dt}{F}_{y^{\prime }}.$

Termi $\frac{\delta J}{\delta y}$ tregon derivatin variacional të funksionalit $J$, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit

Derivimi i ekuacionit një dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ai mbështetet tek lema themelore e analizës së variacionit. Duam të gjejmë një funksion $f$ i cili kënaq konditat kufitare $f(a)=A$, $f(b)=B$, si dhe minimizon koston (vlerën) e funskionalit $J=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,f(x),f^{\prime }(x))dx.$ Hedhim hipotezën se $F$ ka derivate pjesore të para të vazhdueshme. Një hipotezë më e dobët mund të përdort por atëhere prova bëhet më e vështire. Nqs $f$ extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i $f$ që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e $J$ (nqs $f$ është një minimizues) ose të zvogëlojë $J$ (nqs $f$ është një maksimizues). Le $g_{ϵ}(x)=f(x)+ϵ\eta (x)$ të jetë një perturbim i $f$, ku $\eta (x)$ është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin $\eta (a)=\eta (b)=0$. Atëhere përcaktojmë $J_{\epsilon }(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,g_{\epsilon }(x),{g_{\epsilon }}^{\prime }(x))dx.$ Tani llogaritim derivatin e plotë të J në lidhje me ε ose variacionin e parë të J. $\frac{\mathrm{d}{J}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,g_{\epsilon }(x),{g_{\epsilon }}^{\prime }(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}ϵ}(x,g_{\epsilon }(x),{g_{\epsilon }}^{\prime }(x))dx$ Nga derivati i plotë dell se $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }=\frac{\partial }{\partial \epsilon }+\sum _i\frac{\mathrm{d}{g}_i}{\mathrm{d}\epsilon }\frac{\partial }{\partial g_i}$ $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon }=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\epsilon }\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\mathrm{d}{g}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }\frac{\partial F}{\partial g_{ϵ}}+\frac{\mathrm{d}g{\text{'}}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }\frac{\partial F}{\partial g{\text{'}}_{ϵ}}$ $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon }=\eta (x)\frac{\partial F}{\partial g_{\epsilon }}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial {g_{\epsilon }}^{\prime }}.$ Pra $\frac{\mathrm{d}{J}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial g_{\epsilon }}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial {g_{\epsilon }}^{\prime }}]dx.$ Kur ε = 0 we have gε = f dhe meqënëse f është një vlerë ekstremumi del që $\frac{\mathrm{d}{J}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }(0)=0$, i.e. $\frac{\mathrm{d}{J}_{\epsilon }}{\mathrm{d}\epsilon }(0)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial f}+{\eta }^{\prime }(x)\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]dx=0.$ Hapi tjetër është përdorimi i integrimit me pjesë tek termi i dytë i cili jep $0=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]\eta (x)dx+{[\eta (x)\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]}_a^b.$ Duke përdorur konditat kufitare në η, marrim $0=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}]\eta (x)dx.$ Duke zbatuar lemën themelore të analizës së variacionit marrim ekuacionin e Ojler–Lagranzhit $0=\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f^{\prime }}.$

Shembuj

Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :

$\ell (f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x,$

Ku integrandi i funksionit është Stampa:Nowrap i vlerësuar tek Stampa:Nowrap.

Derivatet pjesore të L janë :

$\frac{\partial L(x,y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}\text{and}\frac{\partial L(x,y,y^{\prime })}{\partial y}=0.$

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}}=0\Rightarrow \frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}}=\text{constant}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\text{constant:}$

Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

Mekanika klasike

Metoda

Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:

• Nga energjia kinetike $T$, dhe energjia potencialey $V$, llogaritni funksionin Lagranzhian $L=T-V$.
• Llogarit $\frac{\partial L}{\partial q}$.
• Llogarit $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ dhe nga ajo , $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$. Eshtë e rëndësishme që $\dot{q}$ të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
• Barazoni $\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$. Ky është ekuacioni i Ojler–Lagranzhit.
• Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj, $\dot{q}$ trajtohet "normalisht". Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.

Thërrmijat në një fushë konservative

Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është

$S=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}L(t,𝐱(t),\dot{𝐱}(t))\mathrm{d}t$

Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t. Pika mbi variablat njihen si simbolika e Njutonit për derivatin kohor : pra ẋ(t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t). Në ekuacionin më lart L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :

$L(t,𝐱,𝐯)=\frac{1}{2}m\sum _{i=1}^3{v}_i^2-U(𝐱),$

ku :

• m është masa e thërrmijës (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
• v_i është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
• U është potenciali i forcës konservative.

Në këtë rast, Lagrazhiani nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :

$\frac{\partial L(t,𝐱,𝐯)}{\partial x_i}=-\frac{\partial U(𝐱)}{\partial x_i}=F_i(𝐱)\text{and}\frac{\partial L(t,𝐱,𝐯)}{\partial v_i}=m{v}_i=p_i,$

Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është impulsi (vrulli).

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,

$F_i(𝐱(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m{\dot{x}}_i(t)=m{\ddot{x}}_i(t),$

Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t₀, t₁], po të kemi vlerat kufitare x_i(t₀) dhe x_i(t₁). Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën

$𝐅(𝐱(t))=m\ddot{𝐱}(t)$

Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$

Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

Teoria e fushës

Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,

${\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }\psi )}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial \psi }=0.$

ku

$\psi$ është fusha, dhe

$\partial$ është një operator diferencial:

${\partial }_{\mu }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}).$

Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.

• Ekuacioni i Dirakut
• Ekuacioni i Prokës
• Tensori elektromagnetik
• Ekuacioni Korteweg–de Vries
• Elektrodinamika kuantike

Për funksionet me shumë ndryshore

Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë

$S=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }L(f,x_1,\dots ,x_n,f_{x_1},\dots ,f_{x_n})\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor

$\frac{\partial L}{\partial f}-\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial f_{x_i}}=0.$

Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

Shikoni gjithashtu

Identiteti i Beltramit

Referime

• Stampa:Mathworld
• Stampa:Planetmathref
• Stampa:Cite book
• Calculus of Variations tek Example Problems.com (Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)