Ekuacioni diferencial i pjesshëm eliptik

Ekuacionet diferenciale të pjesshme lineare të rendit të dytë (EDP) klasifikohen si eliptike, hiperbolike ose parabolike . Çdo EDP lineare e rendit të dytë me dy ndryshore mund të shkruhet në formën

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+Fu+G=0,$

ku $A,B,C,D,E,F\text{ dhe }G$ janë funksione të $x$ dhe $y$ dhe ku $u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$, $u_{xy}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ dhe në mënyrë të ngjashme për $u_{xx},u_y,u_{yy}$ . Një EDP i shkruar në këtë formë është eliptik nëse

$B^2-AC<0,$

me këtë konventë emërtimi të frymëzuar nga ekuacioni për një elips planar .

Shembujt më të thjeshtë të EDP-ve eliptike janë ekuacioni i Laplasit, $\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=0$ dhe ekuacioni i Puasonit, $\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$ Në një farë kuptimi, çdo EDP tjetër eliptike me dy ndryshore mund të konsiderohet të jetë një përgjithësim i një prej këtyre ekuacioneve, pasi mund të vihet gjithmonë në formën kanonike

$u_{xx}+u_{yy}+\text{ (termat e rendeve më të ulëta)}=0$

përmes një ndryshimi të variablave.