Ekuacioni i Laplasit

Në matematikë dhe fizikë, ekuacioni i Laplasit është një ekuacion diferencial i pjesshëm i rendit të dytë i emërtuar sipas Pierre-Simon Laplace-it, i cili i pari studioi vetitë e tij. Kjo shpesh shkruhet si$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$$ose$$\mathrm{\Delta }f=0,$$ku $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2$ është operatori i Laplasit, $\mathrm{\nabla }\cdot$ është operatori i divergjencës (i simbolizuar gjithashtu "div"), $\mathrm{\nabla }$ është operatori i gradientit (i shënuar gjithashtu "grad"), dhe $f(x,y,z)$ është një funksion me vlera reale dy herë i diferencueshëm. Prandaj, operatori i Laplasit hartëzon një funksion skalar në një funksion tjetër skalar.

Format në sisteme të ndryshme koordinative

Në koordinata karteziane , $${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0.$$Në koordinatat cilindrike, $${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0.$$Në koordinatat sferike, duke përdorur $(r,\theta ,\phi )$ Konventa, $${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0.$$Më në përgjithësi, në koordinatat arbitrare lakore ( ${\xi }^i$ ) ,$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{\partial }{\partial {\xi }^j}\left(\frac{\partial f}{\partial {\xi }^k}{g}^{kj}\right)+\frac{\partial f}{\partial {\xi }^j}{g}^{jm}{\mathrm{\Gamma }}_{mn}^n=0,$$ose$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}\left(\sqrt{|g|}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial {\xi }^j}\right)=0,(g=\det \{g_{ij}\})$$ku $g_{ij}$ është tensori metrik Euklidian në lidhje me koordinatat e reja dhe $\mathrm{\Gamma }$ tregon simbolet e tij Christoffel .

Në dy dimensione

Ekuacioni i Laplasit në dy ndryshore të pavarura në koordinata karteziane ka formën$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}\equiv {\psi }_{xx}+{\psi }_{yy}=0.$$