Ekuacioni i valës elektromagnetike

Ekuacioni i valës elektromagnetike është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, me terma të fushës elektrike E ose të fushës magnetike B, është i formës:

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄=0$

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁=0$

Ku c është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakuum shpejtësia e dritës është, c = c₀ = 299,792,458 metër për sekondë.

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në literaturën e vjetër, B është "densiteti i fluksit magnetik" ose "induksioni magnetik".

Shpejtësia e përhapjes

Në vakuum(boshllëk)

Nëqoftëse vala përhapet në boshllëk, atëherë

$c=c_o=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_o{\epsilon }_o}}=2.99792458\times 10^8$ metër për sekonda,

është shpejtësia e dritës në vakum, një vlerë e përcaktuar që përcakton standardin e gjatësisë, njësisë së metrit. Konstantja magnetike ${\mu }_0$ dhe permitiviteti i vakumit ${\epsilon }_0$ janë dy konstante fizike të rëndësishme që luajnë një rol kryesor në teorinë elektromagnetike. Vlerat e tyre (të cilat janë gjithashtu të përcaktuar) në njësi SI të marra nga NIST janë tabuluar më poshtë :

Simboli	Emri	Vlera Numerike	SI Njësia e matjes	Tipi
$c_0$	Shpejtësia e dritës nëe vakum	$299792458$	metër për sekondë	e përcaktuar
${\epsilon }_0$	konstantja elektrike	$8.854187817...\times 10^{-12}$	Farad për metër	e derivuar; $\begin{array}{c}\frac{1}{{\mu }_0{c_0}^2}\end{array}$
${\mu }_0$	konstantja magnetike	$4\pi \times 10^{-7}$	Henri për metër	e përcaktuar
${\mathbb{Z}}_0$	Rezistenca karakteristike e vakumit	$376.730313461...$	ohms	e derivuar; ${\mu }_0{c}_0$

Në një mjedis material

Shpejtësi e dritës në një mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapës ( jo-dispersiv) është

$c=\frac{c_0}{n}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$

ku

$n=\sqrt{\frac{\mu \epsilon }{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

është indeksi i refraktimit te mjedisit, $\mu$ është permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe $\epsilon$ është permitiviteti elektrik i mjedisit.

Origjina e ekuacionit të valës elektromagnetike

Konservimi i ngarkesës elektrike

Konservimi i ngarkesës kërkon që shpejtësia e ndryshimit në kohë te të gjithë ngarkesës elektrike të kufizuar brenda një volumi V duhet të jetë e barabarte korrentin total që rrjedh në sipërfaqen S e cila përmbyll volumin V :

$\underset{S}{\oint }𝐣\cdot d𝐀=-\frac{d}{dt}\underset{V}{\int }\rho \cdot dV$

ku j është densiteti i korrentit (në Amper për metër katror) që rrjedh përmes sipërfaqes dhe ρ është densiteti i korrentit (në kulomb për metër kub) në çdo pikë të volumit.

Nga teorema e divergjencës, ky relacion mund të konvertohet nga forma integrale në atë diferenciale :

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit

Në formën e tij origjinale, Ligji i forcës së Amperit jep lidhjene midis fushës magnetike B dhe densitetit të korrentit j :

$\underset{C}{\oint }𝐁\cdot d𝐥=\underset{S}{\iint }\mu 𝐣\cdot d𝐀$

ku S është një sipërfaqe e hapur e kufizuar nga një kurbë C. Kjo forme integrale mund të shndërrohet në formën diferenciale me ane te teoremës së Stouks :

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐣$

Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike

Po të marrim divergjencën e të dyja aneve të ligjit të forcës së Amperit kemi :

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=\mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0𝐣$

Divergjenca e rrotacionit të çdo fushë vektoriale, përfshire fushën magnetikë B, është gjithmonë zero :

$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=0$

Po të kombinojmë këto dy ekuacione del se

$\mathrm{\nabla }\cdot {\mu }_0𝐣=0$

Për shkak se ${\mu }_0$ është një konstante jo-zero, rrjedh se

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$

Megjithatë, ligji i ruajtjes së ngarkesës elektrike thotë se

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Pra, si në rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forcës së Amperit është i vërtete vetëm në ato raste kur kemi të bëjmë me një situate që përfshin një densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e përfshin situatën që ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te një kapacitete.

Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit

Ligji i Gausit në formën integrale pohon se :

$\underset{S}{\oint }𝐄\cdot d𝐀=\frac{1}{{\epsilon }_0}\underset{V}{\int }\rho \cdot dV,$

ku S është një sipërfaqe e mbyllur që kufizon një volum V. Kjo formë integrale mund të konvertohet në formën diferenciale duke përdorur teoremën e divergjencës :

$\mathrm{\nabla }\cdot {\epsilon }_0𝐄=\rho$

Po të marrim derivatin kohor te të dyja aneve dhe të nderojmë radhën e diferencimit në anën e majte marrim :

$\mathrm{\nabla }\cdot {\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Ky rezultat i fundit së bashku me ligjin rrethor të Amperit (ligjin e forcës së Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes së ngarkesës elektrikë, sugjeron se aktualisht kemi dy burime origjine të fushës magnetikë : densiteti e korrentit j, siç e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi korrent zhvendoses:

$\frac{\partial 𝐃}{\partial t}={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Kështu që forma e rregullt e ligjit të forcës së Amperit bëhet :

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐣+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike

Nje kartolinë nga Maksuelli për Piter Tait.

Në publikim e tij të 1864 të titulluar Nje teori Dinamike e fushës elektromagnetike, Maksuelli përdori korrigjimin e ligjit të forcës së Amperit të cilin ai kishte bëre në pjesën e III të publikimit të 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI të publikimit të 1864 të titulluar Teoria elektromagnetike e dritës, Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione të tjera të elektromagnetismit për të marre ekuacionin e valës elektromganetike me shpejtësi të barabarte me atë të dritës. Ai komentoi :

Rënia dakord e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi janë ngacmime të të njejtes substance, si dhe drita është një valë elektromagnetike që përhapet përmes një fushë sipas ligjeve të elektromagnetizmit.

Derivimi i Maksuellit për ekuacionin e fushës elektromagnetike është zëvendësuar në fizikën moderne nga një metode shumë më e thjështë që përfshin kombinimin e versionit të korrektuar të ligjit të forcës së Amperit me ligjin e induksionit të Faradeit.

Në mënyre që të marrim ekuacionin e valës elektromagnetike në boshllëk duke përdorur metodën moderne, mund të fillojmë me formën 'Hevisajd' të ekuacioneve të Maksuellit. Në vakum këto ekuacione janë :

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Po të marrim rrotacionin e rrotacionit të ekuacioneve kemi :

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times 𝐁=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}$

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-{\mu }_o{\epsilon }_o\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}$

Duke përdorur identitetin vektorial

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$

ku $𝐕$ është një funksion vektorial i hapësirës, marrim ekuacionin e valës :

$\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}-{c_0}^2\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐄=0$

$\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}-{c_0}^2\cdot {\mathrm{\nabla }}^2𝐁=0$

ku

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times 10^8$ metër për sekonda

është shpejtësia e dritës në boshllëk.

Forma kovariante e ekuacionit homogjen të valës

Bymimi i kohës në lëvizjen drejtvizore. Kërkesa që shpejtësia e dritës të jete konstante në çdo ikend referimi inercial con në teorinë e Relativitetit Special.

Këto ekuacione relativiste mund të shkruhen në formë kovariante si

${◻}^2{A}^{\mu }=0$

ku potenciali 4-dimensional elektromagnetik është

$A^{\mu }=(\phi ,𝐀c)$

Me konditën e madhësisë së Lorencit :

${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$.

Këtu

${◻}^2={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ është simboli i operatorit d'Alembertian. Kutia katrore nuk është gabim tipografik ; ajo është simboli i këtij operatori.

Ekuacioni homogjen i valës në hapësire kohën e kurbuar

Stampa:Main Ekuacioni i valës elektromagnetike modifikohet në dy mënyra, derivati zëvendësohet me derivation kovariant dhe një term i ri që varet në kurbaturën e hapësire-kohës shfaqet tek ekuacioni.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }{A}^{\beta }=0$

ku

${R^{\alpha }}_{\beta }$

ështe tensori i kurbaturës i Ricit dhe pikëpresja tregon diferencimin kovariant.

Përgjithësimi i konditës së madhësisë së Lorencit në hapësirën e kurbuar merret parasysh këtu :

${A^{\mu }}_{;\mu }=0$.

Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike

Ngarkesa lokale dhe densitete të korrentit që ndryshojnë në kohë veprojnë si burime të ngarkesës elektromagnetike në boshllëk. Ekuacionet e Maksuellit mund të shkruhen në formën e ekuacionit të valës me burime. Shtimi i burimeve tek ekuacioni i valës i bën ekuacionet diferenciale pjesore jo-homogjene.

Zgjidhje te ekuacionit homogjen të valës elektromagnetike

Stampa:Main Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të valës elektromagnetike është një superpozim linear i valëve të formës

$𝐄(𝐫,t)=g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)$

dhe

$𝐁(𝐫,t)=g(\varphi (𝐫,t))=g(\omega t-𝐤\cdot 𝐫)$

e cila virtualisht është e sakte për çdo funksion që sillet mirë g me një argument pa përmasa φ, ku

$\omega$ është frekuenca këndore (në radian për sekonda), dhe

$𝐤=(k_x,k_y,k_z)$ është vektori i valës (në radiane për metër).

Edhe pse funksioni g mund të jetë dhe zakonisht është një vale sinusoidale monokromatike, ajo mund të mos jetë sinusoidale , ose periodike. Në praktikë, g nuk mund të ketë një periodicitet infinit sepse çdo vale elektromagnetike ka një zgjerim të kufizuar në hapësire dhe në kohë. Si rezultat i kësaj, dhe bazuar në teorinë e dekompozimit të Furierit, një valë reale konsiston si një mbivendosje e një bashkësie të pafundme frekuencash sinusoidale.

Për më tepër, për një zgjidhje të sakte, vektori i valës dhe frekuenca këndore nuk janë madhësi të pavarura ; këto madhësi aderojnë sipas relacionit dispersiv :

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Gjendja monokromatike, sinusoidale

Bashkësia më e thjështë e zgjidhjeve të ekuacionit të valës rezulton duke hipotezuar së forma sinusoidale e një frekuence të vetme në formë të ndarë :

$𝐄(𝐫,t)=\mathrm{R}\mathrm{e}\{𝐄(𝐫)e^{j\omega t}\}$

ku

• $j$ është njësia imagjinare,
• $\omega =2\pi f$ është frekuenca këndore në radian për sekonda,
• $f$ është frekuenca në Herz, dhe
• $e^{j\omega t}=\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)$ është formula e Ojlerit.

Zgjidhjet e valës planare

Konsideroni një plan te përcaktuar nga një vektor njësi pingul

$𝐧=\frac{𝐤}{k}$.

Atëherë zgjidhjet e valës planare të ekuacionit të valës janë

$𝐄(𝐫)=E_0{e}^{-j𝐤\cdot 𝐫}$

dhe

$𝐁(𝐫)=B_0{e}^{-j𝐤\cdot 𝐫}$

ku

$𝐫=(x,y,z)$ është vektori i pozicionit (në metra).

Këto zgjidhje paraqesin një valë planare që udhëton në drejtimin e vektorit pingul $𝐧$. Po ta përcaktojmë drejtimin z si drejtimin e $𝐧$ dhe drejtimin x si drejtimin e $𝐄$, atëherë nga ligji i Faradeit vijat e fushës magnetike shtrihen në drejtimin y dhe lidhen me fushën elektrike nga relacioni

$c\frac{\partial B}{\partial z}=\frac{\partial E}{\partial t}$.

Për shaka se divergjenca e fushës elektrike dhe magnetike janë zero, nuk ka fusha në drejtimin e propagimit të valës.

Kjo zgjidhje ështe zgjidhja e polarizimit linear të ekuacionit të valës. Ekzistojnë edhe zgjidhje që janë të polarizuara në mënyre rrethore në të cilat fusha rrotullohet rreth vektorit normal.

Dekompozimi spektral

Për shkak të linearitetit të ekuacioneve të Maksuellit në boshllëk, zgjidhjet mund të dekompozohen në një superpozim sinusoidesh. Kjo është ideja themelore e metodës së transformimit te Furierit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Zgjidhja sinusoidale e ekuacionit të valës elektromagnetike merr formën

Ilustrim i spektrit elektromagnetik.

$𝐄(𝐫,t)={𝐄}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$

dhe

$𝐁(𝐫,t)={𝐁}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$

ku

$t$ është koha (në sekonda),

$\omega$ është frekuenca këndore (në radian për sekonda),

$𝐤=(k_x,k_y,k_z)$ është vektori i valës (në radiane për metër), dhe

${\varphi }_0$ është kendi fazor (në radiane).

Vektori i valës është i lidhur me frekuencës këndore nga

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Spektri elektromagnetik është një graf i madhësive të fushës (ose energjisë) si funksion i gjatësisë së valës.

Zgjidhje te tjera

Zgjidhje analitike sferikisht simetrike dhe cilindrikisht simetrike janë të mundura për ekuacionin e valës elektromagnetike. Në koordinata cilindrike ekuacioni i valës mund të shkruhet si më poshtë :

$𝐄(𝐫,t)=\frac{{𝐄}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)}{s}$

dhe

$𝐁(𝐫,t)=\frac{{𝐁}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)}{s}$

Shikoni gjithashtu

Teoria dhe eksperimenti

• Ekuacionet e Maksuellit
• Ekuacioni i valës
• Drita
• Spektri elektromagnetik
• Optika

Aplikime

• Ylberi
• Lazeri
• Fotografia
• Radari

Lexime të mëtejshme

Elektromagnetizmi

Artikuj gazetash

• Maxwell, James Clerk, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Libra të nivelit universitar

• Stampa:Cite book
• Stampa:Cite book
• Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
• Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
• Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
• David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
• Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
• Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

Libra të nivelit post-universitar

• Stampa:Cite book
• Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
• Stampa:Cite book
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)

Analiza vektoriale

• P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
• H. M. Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

Biografia

• Andre Mari Amperi
• Albert Ajnshtajn
• majkell Faradei
• Henrik Herc
• Oliver Hevisajd
• Xhejms Klark Maksuell