Filtri Kallman

Filtri Kalman ruan gjendjen e vlerësuar të sistemit dhe variancën ose pasigurinë e vlerësimit. Vlerësimi përditësohet duke përdorur një model të tranzicionit të gjendjes dhe matje. ${\hat{x}}_{k\mid k-1}$ tregon vlerësimin e gjendjes së sistemit në hapin kohor k përpara se të merret parasysh matja e k -të y _k ; $P_{k\mid k-1}$ është pasiguria përkatëse.

Për statistikat dhe teorinë e kontrollit, filtrimi Kallman, i njohur gjithashtu si vlerësim kuadratik linear ( VKL/LQE ), është një algoritëm që përdor një seri matjesh të vëzhguara me kalimin e kohës, duke përfshirë zhurmën statistikore dhe pasaktësi të tjera, dhe prodhon vlerësime të ndryshoreve të panjohura që priren të jenë më shumë të sakta se ato të bazuara vetëm në një matje të vetme, duke vlerësuar një shpërndarje të përbashkët probabiliteti mbi ndryshoret për çdo kornizë kohore. Filtri është emëruar sipas Rudolf E. Kálmán, i cili ishte një nga zhvilluesit kryesorë të teorisë së tij.

Ky filtër dixhital nganjëherë quhet filtri Stratonovich–Kalman–Bucy sepse është një rast i veçantë i një filtri më të përgjithshëm, jolinear të zhvilluar disi më herët nga matematikani sovjetik Ruslan Stratonovich . Në fakt, disa nga ekuacionet e rasteve të veçanta të filtrit linear u shfaqën në letrat e Stratonoviçit që u botuan përpara verës së vitit 1961, kur Kalmani u takua me Stratonoviçin gjatë një konference në Moskë.

Filtrimi Kalman ka zbatime të shumta teknologjike. Një zbatim i zakonshëm është për drejtimin, navigimin dhe kontrollin e automjeteve, veçanërisht avionëve, anijeve kozmike dhe anijeve të pozicionuara në mënyrë dinamike . Për më tepër, filtrimi Kallman është një koncept shumë i zbatueshëm në analizën e serive kohore që përdoret për tema të tilla si përpunimi i sinjalit dhe ekonometria . Filtrimi Kallman është gjithashtu një nga temat kryesore të planifikimit dhe kontrollit të lëvizjes robotike dhe mund të përdoret për optimizimin e trajektores . Filtrimi Kallman gjithashtu funksionon për modelimin e kontrollit të lëvizjes së sistemit nervor qendror . Për shkak të vonesës kohore midis lëshimit të komandave motorike dhe marrjes së reagimeve ndijore, përdorimi i filtrave Kallman ofron një model realist për të bërë vlerësime të gjendjes aktuale të një sistemi motorik dhe lëshimin e komandave të përditësuara.

Algoritmi funksionon nga një proces dyfazor që ka një fazë parashikimi dhe një fazë përditësimi. Për fazën e parashikimit, filtri Kalman prodhon vlerësime të ndryshoreve të gjendjes së tanishme, së bashku me pasiguritë e tyre. Pasi të vërehet rezultati i matjes tjetër (domosdoshmërisht i korruptuar me ndonjë gabim, duke përfshirë zhurmën e rastit), këto vlerësime përditësohen duke përdorur një mesatare të peshuar, me më shumë peshë për vlerësimet me siguri më të madhe. Algoritmi është rekursiv. Mund të funksionojë në kohë reale, duke përdorur vetëm matjet e tanishme të hyrjes dhe gjendjen e llogaritur më parë dhe matricën e saj të pasigurisë; nuk kërkohet asnjë informacion shtesë në të kaluarën.

Optimaliteti i filtrimit Kalman supozon se gabimet kanë një shpërndarje normale (Gaussian) . Sipas fjalëve të Rudolf E. Kálmán : "Supozimet e mëposhtme janë bërë në lidhje me proceset e rastësishme: Dukuritë fizike të rastësishme mund të mendohen si pasojë e burimeve të rastësishme parësore që ngacmojnë sisteme dinamike. Burimet parësore supozohen të jenë procese të rastësishme gausiane të pavarura me mesatare zero: sistemet dinamike do të jenë lineare." Pavarësisht nga Gaussianiteti, megjithatë, nëse dihen kovarianca të procesit dhe matjes, atëherë filtri Kalman është vlerësuesi më i mirë linear i mundshëm në kuptimin minimal mesatar-katror të gabimit, edhe pse mund të ketë vlerësues jolinearë më të mirë. Është një keqkuptim i zakonshëm (i përjetësuar në literaturë) që filtri Kalman nuk mund të zbatohet me rigorozitet nëse të gjitha proceset e zhurmës supozohen të jenë gausiane.

Janë zhvilluar gjithashtu zgjerime dhe përgjithësime të metodës, si filtri i zgjeruar Kalman dhe filtri pa aromë Kalman, të cilët punojnë në sisteme jolineare . Baza është një model i fshehur Markov i tillë që hapësira e gjendjes së ndryshoreve latente është e vazhdueshme dhe të gjitha variablat latente dhe të vëzhguara kanë shpërndarje Gaussian. Filtrimi Kallman është përdorur me sukses në fuzionin me shumë sensorë, dhe rrjetet e sensorëve të shpërndarë për të zhvilluar filtrimin Kallman të shpërndarë ose konsensus .