Funksioni Gausian

Në matematikë, një funksion Gaussian, shpesh i referuar thjesht si një Gaussian, është një funksion i formës bazë.$$f(x)=e^{-x^2}$$dhe me shtrirje parametrike$$f(x)=a{e}^{\frac{-(x-b{)}^2}{2c^2}}$$për konstante reale arbitrare a, b dhe jo zero c . Është emërtuar sipas matematikanit Karl Fridrih Gaus . Grafiku i një një funksioni gausian është një formë karakteristike simetrike e " këmbanës së ziles ". Parametri a është lartësia e majës së kurbës, b është pozicioni i qendrës së majës dhe c ( devijimi standard, ndonjëherë i quajtur gjerësia Gaussian RMS ) kontrollon gjerësinë e "këmbanës".

Funksionet Gaussian shpesh përdoren për të përfaqësuar funksionin e densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të shpërndarë normalisht me pritje matematike $\mu =b$ dhe variancë ${\sigma }^2=c^2$ . Në këtë rast, Gausian është i formës $$g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}).$$Funksionet Gaussian përdoren gjerësisht në statistikë për të përshkruar shpërndarjet normale, në përpunimin e sinjalit për të përcaktuar filtrat Gausianë, në përpunimin e imazhit ku Gausian-ët dydimensionalë përdoren për turbullimet Gausiane, dhe në matematikë për të zgjidhur ekuacionet e nxehtësisë dhe ekuacionet e difuzionit dhe për të përcaktuar transformimin Vajershtras.

Vetitë

Funksionet Gausiane lindin duke përbërë (kompozuar) funksionin eksponencial me një funksion kuadratik të mysët (konkav) :$$f(x)=e^{\alpha x^2+\beta x+\gamma },$$ku

• $\alpha =-1/2c^2,$
• $\beta =b/c^2,$
• $\gamma =\ln a-(b^2/2c^2).$

Funksione Gausiane janë ato funksione logaritmi i të cilave është një funksion kuadratik i mysët.

Funksionet Gausiane janë analitike dhe limiti i tyre kur x → ∞  është 0 (për rastin e mësipërm të b = 0 ).

Funksionet Gausiane janë ndër ato funksione që janë elementare, por u mungojnë integralet e pacaktuara elementare; integrali i funksionit Gausian është funksioni i gabimit . Sidoqoftë, integralet e tyre jo të veta mbi të gjithë vijën reale mund të vlerësohen saktësisht, duke përdorur integralin e Gausit .$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi },$$dhe kështu marrim$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x-b{)}^2/(2c^2)}dx=ac\cdot \sqrt{2\pi }.$$