Funksioni elementar

Në matematikë, një funksion elementar është një funksion i një ndryshoreje të vetme (zakonisht reale ose komplekse ) që përkufizohet si marrja e shumave, shumëzimeve, rrënjëve dhe rrethimeve të shumë funksioneve polinomiale, racionale, trigonometrike, hiperbolike dhe eksponenciale, duke përfshirë ndoshta të anasjelltët e tyre (p.sh., arcsin, log, ose $x^{1/n}$ ).

Të gjitha funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësitë e tyre të përcaktimit.

Funksionet elementare u prezantuan nga Joseph Liouville në një seri letrash nga 1833 deri në 1841. Një trajtim algjebrik i funksioneve elementare filloi nga Joseph Fels Ritt në vitet 1930.

Shembuj

Shembuj bazë

Funksionet elementare të një ndryshoreje të vetme $x$ përfshijnë:

• Funksionet konstante : $2,\pi ,e,$ etj.
• Fuqitë racionale të $x$ : $x,x^2,\sqrt{x}(x^{\frac{1}{2}}),x^{\frac{2}{3}},$ etj.
• Funksionet eksponenciale : $e^x,a^x$
• Logaritmet : $\ln x,{\log }_{a}x$
• Funksionet trigonometrike : $\sin x,\cos x,\tan x,$ etj.
• Funksionet trigonometrike të anasjellta : $\arcsin x,\arccos x,$ etj.
• Funksionet hiperbolike : $\sinh x,\cosh x,$ etj.
• Funksionet hiperbolike të anasjellta : $\mathrm{arsinh}x,\mathrm{arcosh}x,$ etj.
• Të gjitha funksionet e marra duke shtuar, zbritur, shumëzuar ose pjesëtuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të mëparshme
• Të gjithë funksionet e marra nga nxjerrja e rrënjës së një polinomi me koeficientë në funksionet elementare
• Të gjitha funksionet përftohen duke kompozuar/rrethuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të listuara më parë

Shembuj të përbërë

Shembuj të funksioneve elementare përfshijnë:

• Mbledhjen, p.sh.$x+1$
• Shumëzimin, p.sh. $2x$
• Funksionet polinomiale
• $\frac{e^{\tan x}}{1+x^2}\sin \left(\sqrt{1+(\ln x{)}^2}\right)$
• $-i\ln (x+i\sqrt{1-x^2})$

Funksioni i fundit është i barabartë me $\arccos x$, kosinusi i anasjelltë, në të gjithë rrafshin kompleks .

Të gjitha monomet, polinomet, funksionet racionale dhe funksionet algjebrike janë elementare. Funksioni i vlerës absolute, për $x$ me vlera reale, është gjithashtu elementar pasi mund të shprehet si përbërje e një fuqie dhe rrënjë të $x$ : $|x|=\sqrt{x^2}$ .

Funksionet jo elementare

Disa shembuj funksionesh që nuk janë elementare:

• tetrimi
• funksionet jo-elementare Liuviliane, duke përfshirë
  • integralet eksponenciale ( Ei ), logaritmike ( Li ose li ) dhe Fresnel ( S dhe C ).
  • funksioni i gabimit, $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt,$ një fakt që mund të mos jetë menjëherë i dukshëm, por mund të vërtetohet duke përdorur algoritmin Risch .
• integrale të tjera jo elementare, duke përfshirë integralin Dirichlet dhe integralin eliptik .

Mbyllja

Nga përkufizimi rrjedh drejtpërdrejt se bashkësia e funksioneve elementare është e mbyllur nën veprimet aritmetike, nxjerrjen e rrënjës dhe përbërjen. Funksionet elementare janë të mbyllura nën veprimin e diferencimit . Ato nuk janë të mbyllura nën kufij dhe shuma të pafundme . Më e rëndësishmja, funksionet elementare nuk janë të mbyllura nën integrim, siç tregohet nga teorema e Liouville-it, shih integralin jo elementar . Funksionet Liouvilliane përkufizohen si funksione elementare dhe, në mënyrë rekursive, integrale të funksioneve Liouvilliane.