Funksioni gama i anasjelltë

</img>

Grafiku i një funksioni gama të anasjelltë

</img>

Vizatimi i funksionit gama të anasjelltë në rrafshin kompleks

Në matematikë, funksioni gama i anasjelltë

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$

është funksioni i anasjelltë i funksionit gama . Me fjalë të tjera, kur

$y={\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$

kurdoherë

$\mathrm{\Gamma }(y)=x$

. Për shembull,

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(24)=5$

.

Zakonisht, funksioni gama i anasjelltë i referohet degës kryesore me domen në intervalin real $[\beta ,+\mathrm{\infty })$ dhe imazhi në intervalin real $[\alpha ,+\mathrm{\infty })$, ku $\beta =0.8856031\dots$ është vlera minimale e funksionit gama në boshtin real pozitiv dhe $\alpha ={\mathrm{\Gamma }}^{-1}(\beta )=1.4616321\dots$ është vendndodhja e atij minimumi.

Përkufizimi

Funksioni gama i anasjelltë mund të përcaktohet nga paraqitja integrale e mëposhtme $${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)=a+bx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }}(\frac{1}{x-t}-\frac{t}{t^2-1})d\mu (t),$$ ku $\mu (t)$ është një masë e Borelit e tillë që $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }}\left(\frac{1}{t^2+1}\right)d\mu (t)<\mathrm{\infty },$$ dhe $a$ dhe $b$ janë numra realë me $b\geqq 0$ .

Përafrim

Për të llogaritur degët e funksionit gama të anasjelltë, së pari mund të llogaritet seria e Tejlorit e $\mathrm{\Gamma }(x)$ në afërsi të $\alpha$ . Seria më pas mund të shkurtohet dhe përmbyset, gjë që jep përafrime më të mira të njëpasnjëshme ${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$ . Për shembull, ne kemi përafrimin kuadratik:

$${\mathrm{\Gamma }}^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +\sqrt{\frac{2(x-\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right))}{\mathrm{\Psi }(1,\alpha )\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}}.$$

Funksioni gama i anasjelltë ka gjithashtu formulën asimptotike të mëposhtme $${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)\sim \frac{1}{2}+\frac{\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right)}{W_0(e^{-1}\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right))},$$ ku $W_0(x)$ është funksioni W i Lambertit. Formula gjendet duke përmbysur përafrimin Stirling, dhe kështu mund të zgjerohet edhe në një seri asimptotike.