Funksioni i gjenerimit të momentit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni i gjenerimit të momentit të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.

Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i n- të rreth 0 është derivati i n -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.

E ç'na qënka ky funksion?

Le $X$ të jetë një ndryshore e rastit me FMSH $F_X$ . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i $X$ (ose $F_X$ ), e shënuar me $M_X(t)$, përcaktohet si

$M_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]$

me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për $t$ në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një $h>0$ e tillë që për të gjithë $t$ në $-h<t<h$, ekziston $\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]$ . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston.

Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të $X$ është pritshmëria e ndryshores së rastit $e^{tX}$ . Në përgjithësi, kur $𝐗=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{T}}$, një vektori i rastit $n$-dimensional, dhe $𝐭$ është një vektor fiks, përdoret $𝐭\cdot 𝐗={𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗$ në vend të $tX$ :

$M_{𝐗}(𝐭):=\mathrm{E}\left(e^{{𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗}\right).$

$M_X(0)$ ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me 1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.

Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes. Zgjerimi i serisë së $e^{tX}$ është

$e^{tX}=1+tX+\frac{t^2{X}^2}{2!}+\frac{t^3{X}^3}{3!}+\cdots +\frac{t^n{X}^n}{n!}+\cdots .$

Prandaj

$\begin{array}{cc}{M}_X(t)=\mathrm{E}(e^{tX})& =1+t\mathrm{E}(X)+\frac{t^2\mathrm{E}(X^2)}{2!}+\frac{t^3\mathrm{E}(X^3)}{3!}+\cdots +\frac{t^n\mathrm{E}(X^n)}{n!}+\cdots \\ & =1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\frac{t^3{m}_3}{3!}+\cdots +\frac{t^n{m}_n}{n!}+\cdots ,\end{array}$

ku $m_n$ eshte $n$ momenti . Diferencimi i $M_X(t)$$i$ herë në lidhje me $t$ dhe vendosja $t=0$, marrim momentin e $i$-të rreth origjinës, $m_i$.

Shembuj

Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit $M_X(t)$ kur kjo e fundit ekziston.

Llogaritja

Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:

• Për një funksion mase të probabilitetit diskret, $M_X(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{t{x}_i}{p}_i$
• Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm, $M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)dx$
• Në rastin e përgjithshëm: $M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$, duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku $F$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i $F$, por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.

Vini re se për rastin kur $X$ ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm $f(x)$, $M_X(-t)$ është transformimi i Laplasit i dyanshëm të $f(x)$ .

$\begin{array}{cc}{M}_X(t)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots +\frac{t^n{x}^n}{n!}+\cdots )f(x)dx\\ & =1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots +\frac{t^n{m}_n}{n!}+\cdots ,\end{array}$

Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit

Nëse ndryshorja e rastit $X$ ka funksion gjenerues të momentit $M_X(t)$, pastaj $\alpha X+\beta$ ka funksion gjenerues të momentit $M_{\alpha X+\beta }(t)=e^{\beta t}{M}_X(\alpha t)$

$M_{\alpha X+\beta }(t)=E[e^{(\alpha X+\beta )t}]=e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}]=e^{\beta t}{M}_X(\alpha t)$