Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni mblëdhës i shpërndarjes për shpërndarjen eksponenciale

Funksioni mbledhës i shpërndarjes për shpërndarjen normale

Në teorinë dhe statistikat e probabilitetit, funksioni mbledhës i shpërndarjes ( FMSH) i një ndryshoreje të rastit me vlera reale $X$, ose thjesht funksioni i shpërndarjes së $X$, vlerësuar në $x$, është probabiliteti që $X$ do të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me $x$ .

Çdo shpërndarje probabiliteti e mbështetur në numrat realë, diskrete ose "të përziera" si dhe të vazhdueshme, identifikohet në mënyrë unike nga një funksion rritës monoton i vazhdueshëm djathtas (një funksion càdlàg ) $F:ℝ\to [0,1]$ që kënaq $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ dhe $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$ .

E ç'është FMSH?

Funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit me vlera reale $X$ është funksioni i dhënë nga Stampa:RpStampa:Equation box 1$F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)$

ku ana e djathtë paraqet probabilitetin që ndryshorja e rastit $X$ merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me $x$ .

Probabiliteti që $X$ shtrihet në intervalin gjysmë të mbyllur $(a,b]$, ku $a<b$, pra është Stampa:Rp

$\mathrm{P}(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$

Në përkufizimin e mësipërm, shenja "më pak se ose e barabartë me", "≤", është një konventë, jo një përdorim universal (p.sh. literatura hungareze përdor "<"), por dallimi është i rëndësishëm për shpërndarjet diskrete. Përdorimi i duhur i tabelave të shpërndarjeve binomiale dhe Poisson varet nga kjo konventë. Për më tepër, formula të rëndësishme si formula e përmbysjes së Paul Lévy -t për funksionin karakteristik gjithashtu mbështeten në formulimin "më pak ose të barabartë".

Funksioni i dendësisë së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të vazhdueshme mund të përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes mbledhëse duke diferencuar duke përdorur Teoremën Themelore të Kalkulusit ; dmth i dhënë $F(x)$ ,$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$përderisa ekziston derivati.

FMSH e një ndryshoreje të rastit të vazhdueshme $X$ mund të shprehet si integral i funksionit të dendësisë së probabilitetit të tij $f_X$ si më poshtë: Stampa:Rp$$F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{f}_X(t)dt.$$

Vetitë

Nga lart poshtë, funksioni i shpërndarjes mbledhëse i një shpërndarjeje diskrete të probabilitetit, shpërndarjes së vazhdueshme të probabilitetit dhe një shpërndarje që ka një pjesë të vazhdueshme dhe një pjesë diskrete.

Shembull i një funksioni shpërndarjeje mbledhëse me një grup ndërprerjesh të pafundme të numërueshme.

Çdo funksion mbledhës i shpërndarjes $F_X$ është jozbritës Stampa:Rpdhe i vazhdueshëm nga e djathta, Stampa:Rpgjë që e bën atë një funksion càdlàg . Për më tepër,$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(x)=1.$$Nëse $X$ është një ndryshore e rastit e pastër diskrete, atëherë ajo arrin vlera $x_1,x_2,\dots$ me probabilitet $p_i=p(x_i)$, dhe CDF e $X$ do të jetë i ndërprerë në pika $x_i$ :$$F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)=\sum _{x_i\le x}\mathrm{P}(X=x_i)=\sum _{x_i\le x}p(x_i).$$Nëse FMSH $F_X$ të një ndryshoreje të rastit me vlera reale $X$ është e vazhdueshme, atëherë $X$ është një ndryshore e rastit e vazhdueshme ; nëse për më tepër $F_X$ është absolutisht i vazhdueshëm, atëherë ekziston një funksion i integrueshëm sipas Lebesgue $f_X(x)$ i tillë që$$F_X(b)-F_X(a)=\mathrm{P}(a<X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_X(x)dx$$për të gjithë numrat realë $a$ dhe $b$ . Funksioni $f_X$ është e barabartë me derivatin e $F_X$ pothuajse kudo, dhe quhet funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes së $X$ .

Plot FMSH me dy drejtkëndësha të kuq, që ilustron $x(1-F_X(x))\le \underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}td{F}_X(t)$ dhe $x{F}_X(-x)\le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-x}{\int }}(-t)d{F}_X(t)$ .

Shembuj

Si shembull, supozoni $X$ shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin e njësisë $[0,1]$ .

Pastaj FMSH e $X$ jepet nga$$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0& :x<0\\ x& :0\le x\le 1\\ 1& :x>1\end{array}$$Supozoni se në vend të kësaj $X$ merr vetëm vlerat diskrete 0 dhe 1, me probabilitet të barabartë.

Pastaj FMSH e $X$ jepet nga$$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0& :x<0\\ 1/2& :0\le x<1\\ 1& :x\ge 1\end{array}$$Supozoni $X$ është i shpërndarë në mënyrë eksponenciale . Pastaj FMSH e $X$ jepet nga$$F_X(x;\lambda )=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0,\\ 0& x<0.\end{array}$$Këtu λ > 0 është parametri i shpërndarjes, i quajtur shpesh parametri i shpejtësisë.

Supozoni $X$ shpërndahet normalisht . Pastaj FMSH e $X$ jepet nga$$F(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\exp (-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})dt.$$Këtu është parametri $\mu$ është mesatarja ose pritshmëria e shpërndarjes; dhe $\sigma$ është devijimi standard i saj.

Supozoni $X$ është i shpërndarë binomialisht . Pastaj FMSH e $X$ jepet nga$$F(k;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}$$

Funksioni i anasjelltë (funksioni kuantile)

Nëse FMSH F është rreptësisht rritës dhe i vazhdueshëm atëherë $F^{-1}(p),p\in [0,1],$ është numri real unik $x$ sikurse $F(x)=p$ . Kjo përcakton funksionin e shpërndarjes së kundërt ose funksionin kuantile .

Disa shpërndarje nuk kanë një të anasjelltë unik (për shembull nëse $f_X(x)=0$ per te gjithe $a<x<b$, duke bërë që $F_X$ të jetë konstante). Në këtë rast, mund të përdoret funksioni i përgjithësuar i shpërndarjes së anasjelltë, i cili përkufizohet si

$F^{-1}(p)=\inf \{x\in ℝ:F(x)\ge p\},\mathrm{\forall }p\in [0,1].$

• Shembulli 1: Mediana është $F^{-1}(0.5)$ .
• Shembulli 2: Vendos $\tau =F^{-1}(0.95)$ . Kështu thërritet $\tau$ përqindja e 95-të.

Disa veti të dobishme të fmsh-së së anasjelltë (të cilat ruhen gjithashtu në përkufizimin e funksionit të shpërndarjes së përgjithësuar të anasjelltë) janë:

1. $F^{-1}$ është jozbritës
2. $F^{-1}(F(x))\le x$
3. $F(F^{-1}(p))\ge p$
4. $F^{-1}(p)\le x$ atëherë dhe vetëm atëherë nëse $p\le F(x)$
5. Nëse $Y$ ka një shpërndarje $U[0,1]$ pastaj $F^{-1}(Y)$ shpërndahet si $F$ . Kjo përdoret në gjenerimin e numrave të rastit duke përdorur metodën e kampionimit të transformimit të kundërt .
6. Nëse $\{X_{\alpha }\}$ është një koleksion i pavarur $F$ -variabla të rastit të shpërndara të përcaktuara në të njëjtën hapësirë popullimi, atëherë ekzistojnë variabla të rastësishme $Y_{\alpha }$ sikurse $Y_{\alpha }$ shpërndahet si $U[0,1]$ dhe $F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }$ me probabilitet 1 për të gjithë $\alpha$ . 

Rasti me shumë ndryshore

Përkufizimi për dy ndryshore të rastit

Kur kemi të bëjmë njëkohësisht me më shumë se një ndryshore të rastit , funksioni i përbashkët mbledhës i shpërndarjes gjithashtu mund të përcaktohet. Për shembull, për një palë ndryshoresh të rastit $X,Y$, CDF e përbashkët $F_{XY}$ jepet nga Stampa:RpStampa:Equation box 1$F_{X,Y}(x,y)=\mathrm{P}(X\le x,Y\le y)$

ku ana e djathtë paraqet probabilitetin që ndryshorja e rastit $X$ merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me $x$ dhe atë $Y$ merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me $y$ .

Shembull i funksionit të përbashkët të shpërndarjes mbledhëse:

Për dy ndryshore të vazhduara $X$ dhe $Y$ :$$\mathrm{Pr}(a<X<b\text{ and }c<Y<d)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx;$$Për dy ndryshore të rastësishme diskrete, është e dobishme të gjenerohet një tabelë e probabiliteteve dhe të adresohet probabiliteti mbledhës për çdo shtrirje potenciale të $X$ dhe $Y$, dhe këtu është shembulli:

duke pasur parasysh funksionin e masës së probabilitetit të përbashkët në formë tabelare, përcaktoni funksionin e shpërndarjes mbledhëse të përbashkët.

	Y = 2	Y = 4	Y = 6	Y = 8
X = 1	0	0.1	0	0.1
X = 3	0	0	0.2	0
X = 5	0.3	0	0	0.15
X = 7	0	0	0.15	0

Zgjidhje: duke përdorur tabelën e dhënë të probabiliteteve për çdo varg potencial të $X$ dhe $Y$, funksioni i përbashkët kumulativ i shpërndarjes mund të ndërtohet në formë tabelare:

	Y < 2	2 ≤ Y < 4	4 ≤ Y < 6	6 ≤ Y < 8	Y ≥ 8
X < 1	0	0	0	0	0
1 ≤ X < 3	0	0	0.1	0.1	0.2
3 ≤ X < 5	0	0	0.1	0.3	0.4
5 ≤ X < 7	0	0.3	0.4	0.6	0,85
X ≥ 7	0	0.3	0.4	0.75	1