Funksioni i shenjës

Funksioni i shenjës $y=\mathrm{sgn}x$

Në matematikë, funksioni i shenjës ose funksioni signum (nga signum, latinisht për "shenjë") është një funksion që kthen shenjën e një numri real . Në literaturën matematikore, funksioni i shenjës shpesh paraqitet si $\mathrm{sgn}(x)$ .

Përkufizimi

Funksioni i shenjës për një numër real $x$ është një funksion pjesë-pjesë i cili përcaktohet si më poshtë: $$\mathrm{sgn}x:=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$$

Vetitë

Funksioni i shenjës nuk është i vazhdueshëm në $x=0$ .

Çdo numër real mund të shprehet si prodhim i vlerës së tij absolute dhe funksionit të tij të shenjës:$$x=|x|\mathrm{sgn}x.$$Nga kjo rrjedh se kur $x$ nuk është e barabartë me 0 marrim$$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}.$$Në mënyrë të ngjashme, për çdo numër real $x$ ,$$|x|=x\mathrm{sgn}x.$$Gjithashtu mund të konstatojmë se:$$\mathrm{sgn}{x}^n=(\mathrm{sgn}x{)}^n.$$Funksioni i shenjës është derivat i funksionit të vlerës absolute, deri në (por pa përfshirë) papërcaktueshmërinë në zero. Më formalisht, në teorinë e integrimit është një derivat i dobët, dhe në teorinë e funksionit të lugët (konveks), nëndiferenciali i vlerës absolute në 0 është intervali $[-1,1]$, "plotësimi" i funksionit të shenjës (nëndiferenciali i vlerës absolute nuk ka një vlerë të vetme në 0). Vini re, fuqia rezultante e $x$ është 0, e ngjashme me derivatin e zakonshëm të $x$ . Numrat anulohen dhe gjithçka që na mbetet është shenja e $x$ .$$\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}=\mathrm{sgn}x\text{ for }x\ne 0.$$Funksioni i shenjës është i diferencueshëm me derivatin 0 kudo, përveç në 0. Nuk është i diferencueshëm në 0 në kuptimin e zakonshëm, por sipas nocionit të përgjithësuar të diferencimit në teorinë e shpërndarjes, derivati i funksionit të shenjës është dyfishi i funksionit delta i Dirakut, gjë e cila mund të demonstrohet duke përdorur identitetin $$\mathrm{sgn}x=2H(x)-1,$$ku $H(x)$ është funksioni i Hevisajdit duke përdorur formalizimin standard $H(0)=\frac{1}{2}$. Duke përdorur këtë identitet, është e lehtë të nxirret derivati shpërndarës: $$\frac{\text{d}\mathrm{sgn}x}{\text{d}x}=2\frac{\text{d}H(x)}{\text{d}x}=2\delta (x).$$Transformimi Furier i funksionit shenjë është $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\mathrm{sgn}x)e^{-ikx}\text{d}x=PV\frac{2}{ik},$$ku $PV$ do të thotë marrjen e vlerës kryesore Cauchy .

Funksioni i shenjës për numrat kompleksë

Funksioni i shenjës mund të përgjithësohet në numra kompleks si:$$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}$$për çdo numër kompleks $z$ përveç $z=0$ . Shenja e një numri kompleks të dhënë $z$ është pika në rrethin njësi të rrafshit kompleks që është më afër $z$ . Pastaj, për $z\ne 0$ ,$$\mathrm{sgn}z=e^{i\arg z},$$ku $\arg$ është funksioni i argumentit kompleks .