Fushat vektoriale në koordinata cilindrike dhe sferike

Koordinatat sferike ( r, θ, φ ) siç përdoren zakonisht në fizikë : distanca radiale r, këndi polar θ ( theta ) dhe këndi azimutal φ ( phi ). Simboli ρ ( rho ) përdoret shpesh në vend të r .

Shënim: Kjo faqe përdor shënime të zakonshme të fizikës për koordinatat sferike, në të cilat $\theta$ është këndi ndërmjet boshtit z dhe vektorit të rrezes që lidh origjinën me pikën në fjalë, ndërsa $\varphi$ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit të rrezes në rrafshin xy dhe boshtit x . Disa përkufizime të tjera janë në përdorim, prandaj duhet pasur kujdes në krahasimin e burimeve të ndryshme.

Sistemi i koordinatave cilindrike

Fushat vektoriale

Vektorët përcaktohen në koordinata cilindrike me treshen e renditur ( ρ, φ, z ), ku

• ρ është gjatësia e vektorit të projektuar në planin xy ,
• φ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në rrafshin xy (dmth. ρ ) dhe boshtit pozitiv x (0 ≤ φ < 2 π ),
• z është koordinata e rregullt z .

( ρ, φ, z ) jepet në koordinatat karteziane nga:$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ z\end{array}\right].$$

ose anasjelltas nga:$$𝐀=A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}=A_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_z\widehat{𝐳}$$Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:$$\left[\begin{array}{c}\hat{\mathit{\rho }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]$$Vektorët njësi cilindrikë janë të lidhur me vektorët njësi kartezianë nga:$$\dot{𝐀}={\dot{A}}_x\widehat{𝐱}+{\dot{A}}_y\widehat{𝐲}+{\dot{A}}_z\widehat{𝐳}$$

Derivati kohor i një fushe vektoriale

Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale A në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Për këtë qëllim , shënimi i Njutonit do të përdoret për derivatin e kohës ( $\dot{𝐀}$ ). Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:$$\dot{𝐀}={\dot{A}}_{\rho }\hat{\mathit{\rho }}+A_{\rho }\dot{\hat{\mathit{\rho }}}+{\dot{A}}_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_{\varphi }\dot{\hat{\mathit{\varphi }}}+{\dot{A}}_z\widehat{𝒛}+A_z\dot{\widehat{𝒛}}$$Megjithatë/Sidoqoftë, në koordinatat cilindrike kjo bëhet:$$\begin{array}{cc}\dot{\hat{\mathit{\rho }}}& =\dot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\varphi }}}& =-\dot{\varphi }\hat{\mathit{\rho }}\\ \dot{\widehat{𝐳}}& =0\end{array}$$Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:$$\dot{𝐀}=\hat{\mathit{\rho }}({\dot{A}}_{\rho }-A_{\varphi }\dot{\varphi })+\hat{\mathit{\varphi }}({\dot{A}}_{\varphi }+A_{\rho }\dot{\varphi })+\widehat{𝐳}{\dot{A}}_z$$Pra, derivati i kohës thjeshtohet në:$$\left[\begin{array}{c}\rho \\ \varphi \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2}\\ \arctan (y/x)\\ z\end{array}\right],0\le \varphi <2\pi ,$$

Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale

Derivati i dytë sipas kohës është me interes në fizikë, pasi gjendet në ekuacionet e lëvizjes për sistemet mekanike klasike . Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale në koordinatat cilindrike jepet nga:$$\ddot{𝐀}=\hat{\mathit{\rho }}({\ddot{A}}_{\rho }-A_{\varphi }\ddot{\varphi }-2{\dot{A}}_{\varphi }\dot{\varphi }-A_{\rho }{\dot{\varphi }}^2)+\hat{\mathit{\varphi }}({\ddot{A}}_{\varphi }+A_{\rho }\ddot{\varphi }+2{\dot{A}}_{\rho }\dot{\varphi }-A_{\varphi }{\dot{\varphi }}^2)+\widehat{𝐳}{\ddot{A}}_z$$Për të kuptuar këtë shprehje, A zëvendësohet me P, ku P është vektori ( ρ, φ, z ).Kjo do të thotë se $𝐀=𝐏=\rho \hat{\mathit{\rho }}+z\widehat{𝐳}$ .

Pas zëvendësimit jepet rezultati:$$\ddot{𝐏}=\hat{\mathit{\rho }}(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2)+\hat{\mathit{\varphi }}(\rho \ddot{\varphi }+2\dot{\rho }\dot{\varphi })+\widehat{𝐳}\ddot{z}$$$$\begin{array}{cc}\ddot{\rho }\hat{\mathit{\rho }}& =\text{nxitimi i jashtëm qëndror}\\ -\rho {\dot{\varphi }}^2\hat{\mathit{\rho }}& =\text{nxitimi qëndërsynues}\\ \rho \ddot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}& =\text{nxitimi këndor}\\ 2\dot{\rho }\dot{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}& =\text{efekti i Koriolisit}\\ \ddot{z}\widehat{𝐳}& =\text{nxitimi-z}\end{array}$$

Sistemi i koordinatave sferike

Fushat vektoriale

Vektorët përcaktohen në koordinata sferike me ( r, θ, φ ), ku

• r është gjatësia e vektorit,
• θ është këndi ndërmjet boshtit pozitiv Z dhe vektorit në fjalë (0 ≤ θ ≤ π ), dhe
• φ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në planin xy dhe boshtit pozitiv X (0 ≤ φ < 2 π ).

( r, θ, φ ) jepet në koordinatat karteziane nga:$$\left[\begin{array}{c}r\\ \theta \\ \varphi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \arccos (z/\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\ \arctan (y/x)\end{array}\right],0\le \theta \le \pi ,0\le \varphi <2\pi ,$$ose anasjelltas nga:$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \varphi \\ r\sin \theta \sin \varphi \\ r\cos \theta \end{array}\right].$$Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:$$𝐀=A_x\widehat{𝐱}+A_y\widehat{𝐲}+A_z\widehat{𝐳}=A_r\widehat{𝒓}+A_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}$$Vektorët e njësive sferike lidhen me vektorët njësi kartezian nga:$$\left[\begin{array}{c}\widehat{𝒓}\\ \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]$$Kështu, vektorët njësi kartezianë janë të lidhur me vektorët sferikë njësi nga:$$\left[\begin{array}{c}\widehat{𝐱}\\ \widehat{𝐲}\\ \widehat{𝐳}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \cos \theta \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{𝒓}\\ \hat{\mathit{\theta }}\\ \hat{\mathit{\varphi }}\end{array}\right]$$

Derivati kohor i një fushe vektoriale

Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale A në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:$$\dot{𝐀}={\dot{A}}_x\widehat{𝐱}+{\dot{A}}_y\widehat{𝐲}+{\dot{A}}_z\widehat{𝐳}$$Sidoqoftë, në koordinatat sferike kjo merr trajtën:$$\dot{𝐀}={\dot{A}}_r\widehat{𝒓}+A_r\dot{\widehat{𝒓}}+{\dot{A}}_{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+A_{\theta }\dot{\hat{\mathit{\theta }}}+{\dot{A}}_{\varphi }\hat{\mathit{\varphi }}+A_{\varphi }\dot{\hat{\mathit{\varphi }}}$$Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:$$\begin{array}{cc}\dot{\widehat{𝒓}}& =\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+\dot{\varphi }\sin \theta \hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\theta }}}& =-\dot{\theta }\widehat{𝒓}+\dot{\varphi }\cos \theta \hat{\mathit{\varphi }}\\ \dot{\hat{\mathit{\varphi }}}& =-\dot{\varphi }\sin \theta \widehat{𝒓}-\dot{\varphi }\cos \theta \hat{\mathit{\theta }}\end{array}$$Kështu derivati sipas kohës shkruhet:$$\dot{𝐀}=\widehat{𝒓}({\dot{A}}_r-A_{\theta }\dot{\theta }-A_{\varphi }\dot{\varphi }\sin \theta )+\hat{\mathit{\theta }}({\dot{A}}_{\theta }+A_r\dot{\theta }-A_{\varphi }\dot{\varphi }\cos \theta )+\hat{\mathit{\varphi }}({\dot{A}}_{\varphi }+A_r\dot{\varphi }\sin \theta +A_{\theta }\dot{\varphi }\cos \theta )$$