Koeficientët e binomit

Koeficientët e binomit përkufizohen për një numër natyral n dhe për të gjithë numrat natyral k jo më të mëdhenj se n si numri i nënbashkësive me k elemente të një bashkësie me n elemente. Shënojmë $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ (lexohet « n mbi k » ). Duke përdorur faktorielin mund të shënojmë :

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Këta numra paraqiten në shumë degë të matematikës : zhvillimi i binomit, zbërthimi në seri të pafundme , numri i kombinacioneve pa përsëritje, kanë zbatim në teorinë e gjasës etj.

Përkufizimi algjebrik

$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{k!(n-k)!}& \text{nëse }k\in [[0;n]]\text{(1)}\\ 0& \text{përndryshe}\end{array}$

Koeficientët e binomit e plotësojnë relacionin rekurent:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})\text{(2)}$

i ciliquhet formula e Pascalit.

Ky relacion na mundëson të formojmë trekëndëshin e Pascalit për vlera të vogla të n :

rreshti 0:    1
rreshti 1:    1   1
rreshti 2:    1   2   1
rreshti 3:    1   3   3   1
rreshti 4:    1   4   6   4   1
rreshti 5:    1   5   10  10  5   1
rreshti 6:    1   6   15  20  15  6   1
rreshti 7:    1   7   21  35  35  21  7   1

Binomi i Newtonit

Koeficientët e binomit paraqiten gjatë zbërthimit të fuqisë së n^të të binomit x + y :

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k(3)$

Nëse p.sh e vërejmë rreshtin e pestë të trkëndëshit të Pascalit kemi se :

$(x+y{)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5$ .

Shih edhe

• Kombinacioni
• Permutacioni
• Faktorieli