Krehëri i Dirakut

Grafiku i funksionit të krëhërit Dirak është një seri e pafundme funksionesh delta të Dirakut të vendosura në intervale prej $T$ njësish kohore.

Në matematikë, një krehër Dirak (i njohur gjithashtu si funksioni sha, treni i impulsit ose funksioni i kampionimit ) është një funksion periodik me formulën$${\text{Ш}}_T(t):=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)$$për një periodë të dhënë $T$ . Këtu t është një ndryshore reale dhe shuma shtrihet mbi të gjithë numrat e plotë k. Funksioni i deltës së Dirakut $\delta$ dhe krëhëri i Dirakut janë shpërndarje të zbutura . Grafiku i funksionit i ngjan një krehëri (me $\delta$ s si dhëmbët e krëhërit ), prandaj emri i tij dhe përdorimi i shkronjës cirilike sha (Ш) të ngjashme me krehërin për të shënuar funksionin.

Simboli $\text{Ш}(t)$, ku perioda është lënë jashtë, përfaqëson një krehër Diraku të periodës njësi. Kjo nënkupton $${\text{Ш}}_T(t)=\frac{1}{T}\text{Ш}\left(\frac{t}{T}\right).$$Për shkak se funksioni i krëhërit të Dirakut është periodik, ai mund të përfaqësohet si një seri Furie e bazuar në bërthamën e Dirichlet : $${\text{Ш}}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi n\frac{t}{T}}.$$Funksioni i krëhërit të Dirakut lejon që të përfaqësohen dukuri të vazhduara dhe diskrete, të tilla si marrja e kampioneve dhe aliasing, në një kuadër të vetëm të analizës së vazhdueshme të Furjesë në shpërndarjet e temperuara, pa asnjë referencë për seritë Thurje. Transformimi Furje i një krëhëri Dirak është një tjetër krehër Dirak. Për shkak të teoremës së thurjes mbi shpërndarjet e kalitura, e cila rezulton të jetë formula e përmbledhjes Poisson, në përpunimin e sinjalit, krëhëri i Dirakut lejon modelimin e kampionimit duke u shumëzuar me të, por gjithashtu lejon modelimin e periodizimit me konvolucionin me të.

Transformimi Furje

$ℱ\left[f\right](\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},$

$ℱ\left[{\text{Ш}}_T\right](\xi )=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\xi -k\frac{1}{T})=\frac{1}{T}{\text{Ш}}_{\frac{1}{T}}(\xi )$