Lavjerrësi elastik

Në fizikë dhe matematikë, në fushën e sistemeve dinamike, një lavjerrës elastik (i quajtur edhe lavjerrësi sustë ose susta lëkundëse) është një sistem fizik ku një pjesë mase lidhet me një burim në mënyrë që lëvizja rezultante të përmbajë elemente të një lavjerrësi të thjeshtë dhe të një sistemi njëdimensional të sustës në masë . Sistemi shfaq sjellje kaotike dhe është i ndjeshëm ndaj kushteve fillestare . Lëvizja e një lavjerrës elastik drejtohet nga një grup ekuacionesh diferenciale të zakonshme të çiftëzuara.

Analiza dhe interpretimi

2 DOF lavjerrës elastik me grafikë në koordinata polare.

Sistemi është shumë më i ndërlikuar se një lavjerrës i thjeshtë, pasi vetitë e sustave i shtojnë sistemit një gradë lirie shtesë. Për shembull, kur susta ngjeshet, rrezja më e shkurtër bën që susta të lëvizë më shpejt për shkak të ruajtjes së momentit këndor . Është gjithashtu e mundur që susta të ketë një rreze që kapërcehet nga lëvizja e lavjerrësit, duke e bërë atë praktikisht asnjëanëse ndaj lëvizjes së lavjerrësit.

Lagranzhiane

Susta ka gjatësinë e pushimit $l_0$ dhe mund të shtrihet me një gjatësi $x$ . Këndi i lëkundjes së lavjerrësit është $\theta$ .

Lagranzhiani $L$ është:

$L=T-V$

ku $T$ është energjia kinetike dhe $V$ është energjia potenciale .

Shiko. Ligji i Hukut është energjia potenciale e vetë sustës:

$V_k=\frac{1}{2}k{x}^2$

ku $k$ është konstantja e sustës.

Energjia potenciale prej gravitetit, nga ana tjetër, përcaktohet nga lartësia e masës. Për një kënd dhe zhvendosje të caktuar, energjia potenciale është:

$V_g=-gm(l_0+x)\cos \theta$

ku g është nxitimi i rënies së lirë.

Energjia kinetike jepet nga shprehja:

$T=\frac{1}{2}m{v}^2$

ku $v$ është shpejtësia. Për të lidhur $v$ me ndryshoret e tjera, shpejtësia shkruhet si një kombinim i një lëvizjeje përgjatë dhe pingul me sustën:

$T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+(l_0+x{)}^2{\dot{\theta }}^2)$

Pra, Lagranzhiani merr trajtën:

$L=T-V_k-V_g$

$L[x,\dot{x},\theta ,\dot{\theta }]=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+(l_0+x{)}^2{\dot{\theta }}^2)-\frac{1}{2}k{x}^2+gm(l_0+x)\cos \theta$

Ekuacionet e lëvizjes

Me dy shkallë lirie, për $x$ dhe $\theta$, ekuacionet e lëvizjes mund të gjenden duke përdorur dy ekuacione Euler-Lagrange :

$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0$

$\frac{\partial L}{\partial \theta }-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=0$

Për $x$ :

$m(l_0+x){\dot{\theta }}^2-kx+gm\cos \theta -m\ddot{x}=0$

$\ddot{x}$ i izoluar:

$\ddot{x}=(l_0+x){\dot{\theta }}^2-\frac{k}{m}x+g\cos \theta$

Dhe për $\theta$ :

$-gm(l_0+x)\sin \theta -m(l_0+x{)}^2\ddot{\theta }-2m(l_0+x)\dot{x}\dot{\theta }=0$

$\ddot{\theta }$ i izoluar:

$\ddot{\theta }=-\frac{g}{l_0+x}\sin \theta -\frac{2\dot{x}}{l_0+x}\dot{\theta }$

Lavjerrësi elastik tani përshkruhet nga dy ekuacione diferenciale të zakonshme të çiftëzuara. Këto mund të zgjidhen numerikisht. Për më tepër, mund të përdoren metoda analitike për të studiuar fenomenin intrigues rend-kaos-rend në këtë sistem.