Matrica idempotente

Në algjebër lineare, një matricë idempotente është një matricë e cila, kur shumëzohet me vetveten, jep vetveten. Kjo është, matrica $A$ është idempotent atëherë dhe vetëm atëherë kur $A^2=A$ . Për këtë prodhim $A^2$ për t'u përcaktuar, $A$ duhet të jetë domosdoshmërisht një matricë katrore . Shikuar në këtë mënyrë, matricat idempotente janë elemente idempotente të unazave të matricës .

Shembull

Shembuj të matricave idempotente $2\times 2$ janë: $$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right]$$

Shembuj të matricave idempotente $3\times 3$ janë: $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right]$$

Rasti real 2 × 2

Nëse një matricë $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ është idempotent, atëherë

• $a=a^2+bc,$
• $b=ab+bd,$ duke nënkuptuar $b(1-a-d)=0$ pra $b=0$ ose $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ duke nënkuptuar $c(1-a-d)=0$ pra $c=0$ ose $d=1-a,$
• $d=bc+d^2.$

Kështu, një kusht i domosdoshëm për një $2\times 2$ matrica të jetë idempotente është që ose është diagonale ose gjurma e saj është e barabartë me 1. Për matricat diagonale idempotente, $a$ dhe $d$ duhet të jetë ose 1 ose 0.

Nëse $b=c$, matrica $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ do të jetë i pafuqishëm me kusht $a^2+b^2=a,$ kështu që a plotëson ekuacionin kuadratik

$a^2-a+b^2=0,$ ose ${(a-\frac{1}{2})}^2+b^2=\frac{1}{4}$

i cili është një rreth me qendër (1/2, 0) dhe rreze 1/2. Për sa i përket këndit θ ,

$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1+\cos \theta \end{array}\right)$ është idempotente.

Megjithatë, $b=c$ nuk është kusht i domosdoshëm: çdo matricë

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$ me $a^2+bc=a$ është idempotente.

Zbatimet

Matricat idempotente shfaqen shpesh në analizën e regresit dhe në ekonometri . Për shembull, në katrorët më të vegjël të zakonshëm, problemi i regresit është zgjedhja e një vektori β të vlerësimeve të koeficientëve në mënyrë që të minimizohet shuma e mbetjeve në katror (parashikime të gabuara) e_i : në formën e matricës,

Min. $(y-X\beta {)}^{\mathsf{\text{T}}}(y-X\beta )$

ku $y$ është një vektor i vëzhgimeve të ndryshoreve të varura, dhe $X$ është një matricë secila nga kolonat e së cilës është një kolonë vëzhgimesh në një nga ndryshoret e pavarura . Vlerësuesi që rezulton është

$\hat{\beta }={\left(X^{\mathsf{\text{T}}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathsf{\text{T}}}y$