Momenti i Inercisë

Skeda:25. Ротационен стол.ogv Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercisë ose masa këndore, (njësite në SI kg m²), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli $I$ ose ndonjëherë $J$ përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë.

== Nje shikim i përgjithshëm == light I inercise eshte nje ligj I cili ndodh ne te gjithe trupat ne natyre

Momenti skalar i inercisë

Përcaktimi

Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

$I=\int r^{2}dm$

ku

m është masa,

dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

Një analizim i detajuar

Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

$I\triangleq m{r}^2$.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga $N$ pika lëndore $m_i$ me distanca $r_i$ nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

$I\triangleq \sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2$

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(r), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

$I\triangleq \underset{V}{\iiint }{r}^2\rho (𝒓)dV$

ku

V është volume i zënë nga objekti.

ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe

$𝒓\equiv (r,\theta ,\varphi ),(x,y,z),ose(r,\theta ,z)$ janë kordinatat e pikës brenda trupit.

Diagram për llogaritjen e momentit të inercise për një disk. Ketu k eshte 1/2 dhe r është rrezja që përdoret për përcaktimin e momentit.

Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:

$I=k\cdot M\cdot R^2$

ku

M është masa

R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)

k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

• k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
• k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
• k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

Tensori i momentit te inercise

Percaktimi

Per nje object te ngurte te perbere nga $N$ pika lendore $m_k$, tensori i momentit te inercise jepet nga

$𝐈=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]$.

Komponentet e saj percaktohen si

$I_{ij}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=1}^N{m}_k(r_k^2{\delta }_{ij}-r_{ki}{r}_{kj})$

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,

r_k eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe

${\delta }_{ij}$ eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si

$I_{xx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=1}^N{m}_k(y_k^2+z_k^2),$

$I_{yy}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=1}^N{m}_k(x_k^2+z_k^2),$

$I_{zz}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=1}^N{m}_k(x_k^2+y_k^2),$

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane

$I_{xy}=I_{yx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\sum _{k=1}^N{m}_k{x}_k{y}_k,$

$I_{xz}=I_{zx}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\sum _{k=1}^N{m}_k{x}_k{z}_k,$ and

$I_{yz}=I_{zy}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}-\sum _{k=1}^N{m}_k{y}_k{z}_k,$

Ketu $I_{xx}$ jep momentin e inercise rreth bushtit-$x$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, $I_{xy}$ tregon momentin e inercise rreth aksit-$y$ kur objektet rrotullohen rreth aksit-$x$, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

$𝐈=\underset{V}{\iiint }\rho (x,y,z)(r^2{𝐄}_3-𝐫\otimes 𝐫)dxdydz,$

ku $𝐫\otimes 𝐫$ eshte produkti i jashtem, E₃ eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Derivimi i komponenteve te tensorit

Distanca $r$ e nje therrmije tek $𝐱$ nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e $\widehat{𝐧}$ eshte $|𝐱-(𝐱\cdot \widehat{𝐧})\widehat{𝐧}|$. Duke perdorur formulen $I=m{r}^2$ (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin $\widehat{𝐧}$ ) eshte $I=m(|𝐱{|}^2(\widehat{𝐧}\cdot \widehat{𝐧})-(𝐱\cdot \widehat{𝐧}{)}^2).$ Kjo eshte nje formë kuadratike në $\widehat{𝐧}$ dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise

$I=m[n_1,n_2,n_3]\left[\begin{array}{ccc}{y}^2+z^2& -xy& -xz\\ -yx& x^2+z^2& -yz\\ -zx& -zy& x^2+y^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]$.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

Shikoni gjithashtu

• Lista e momenteve te inercise
• Lista e momenteve te tensoreve te inercise
• Energjia rrotulluese
• Teoreme e aksit paralel
• Teorema e aksit perpendikular
• Elipsoidi i Poinsots

Referime

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

• Landau LD and Lifshitz EM. (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

• Tenenbaum, RA. (2004) Fundamentals of Applied Dynamics, Springer. ISBN 0-387-00887-X

Lidhje te jashtme

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Stampa:Webarchive
• A table of moments of inertia
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor Stampa:Webarchive
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)