Përafrimi i Spouge

Në matematikë, përafrimi i Spouge është një formulë për llogaritjen e një përafrimi të funksionit gama . Ai u emërtua sipas John L. Spouge, i cili përcaktoi formulën në një punim të vitit 1994. Formula është një modifikim i përafrimit të Stirlingut, dhe ka formën

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=(z+a{)}^{z+\frac{1}{2}}{e}^{-z-a}(c_0+\sum _{k=1}^{a-1}\frac{c_k}{z+k}+{\epsilon }_a(z))$

ku a është një numër i plotë pozitiv arbitrar dhe koeficientët janë dhënë nga

$\begin{array}{cc}{c}_0& =\sqrt{2\pi }\\ c_k& =\frac{(-1{)}^{k-1}}{(k-1)!}(-k+a{)}^{k-\frac{1}{2}}{e}^{-k+a}k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{array}$

Spouge ka vërtetuar se, nëse Re( z ) > 0 dhe a > 2, gabimi relativ në hedhjen e ε _a ( z ) kufizohet me

$a^{-\frac{1}{2}}(2\pi {)}^{-a-\frac{1}{2}}.$

Formula është e ngjashme me përafrimin e Lanczosit, por ka disa veçori të dallueshme. Megjithëse formula Lanczos shfaq konvergjencë më të shpejtë, koeficientët e Spouge-it janë shumë më të lehtë për t'u llogaritur dhe gabimi mund të vendoset në mënyrë arbitrare të ulët. Prandaj formula është e përdorshme për vlerësimin me saktësi arbitrare të funksionit gama. Megjithatë, duhet treguar kujdes i veçantë për të kapur saktësi të mjaftueshme gjatë llogaritjes së shumës për shkak të magnitudës së madhe të koeficientëve c _k, si dhe shenjës së tyre të alternuar. Për shembull, për a = 49, duhet llogaritur shuma duke përdorur rreth 65 shifra dhjetore të saktësisë në mënyrë që të merren 40 shifrat dhjetore të premtuara të saktësisë.