Problemi i ditëlindjes

Rritja e probabiliteti të problemit të ditëlindjes në raport me rritjen e numrit të personave.

Në teorinë e probabilitetit, problemi i ditëlindjes kërkon vlërën e probabilitetit ashtu që në një grup prej Stampa:Mvar personash të zgjedhur rastësisht, së paku 2 persona kanë ditëlindjen (ditën e lindjes, jo vitin) e njejtë. Ky problem njihet edhe si paradoksi i ditëlindjes për arsye se në një grup prej 23 personash probabiliteti që së paku 2 prej tyre kanë ditëlindje të njejtë është më i madh se 50%, që është shumë kundërintuitive.

Paradoksi i ditëlindjes në shikim të parë duket si i gabuar, por në fakt është i saktë. Mund të duket i habitshëm fakti që vetëm 23 persona nevojiten që probabiliteti të kaloj 50% kur një vit ka 365 (ose 366) ditë. Ky rezultat mund të bëhet më intuitiv duke vërejtur se krahasimet e ditëlindjeve do të bëhen midis çdo dysheje të mundëshme të individëve. Me 23 persona, janë $\frac{23\times 22}{2}=253$ dyshe për ti konsideruar, që është më e madhe se gjysma e ditëve në një vit(182 ose 183).

Problemi i atributohet Harold Davenport-it rreth vitit 1927, por ai nuk e publikoi atë. Davenport nuk e pranoi të quhet zbuluesi i problemit “sepse ai nuk mund të besonte që ky problem nuk është paraqitur më parë". Publikimi i parë i një versioni të problemit të ditëlindjes ishte nga Richard von Mises në vitin 1939.

Llogaritja e probabilitetit

Grafi tregon probabilitetin që nga grupi prej n personash së paku 2 kanë ditëlindjen e njejtë (Stampa:Color) dhe probabilitetin e kundërt që nga grupi prej n personash asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë (Stampa:Color),

Problemi është të gjejmë probabilitetin që nga një grup prej Stampa:Mvar personash së paku 2 kanë ditën e lindjes së njejtë. Për thjeshtësi vitet e brishta dhe binjakët nuk do të merren parasyshë si dhe supozohet se të gjitha 365 ditëlindjet kanë gjasë të ndodhjes të njejtë, që është rasti më i keq.

Qëllimi është të llogarisim probabilitetin Stampa:Math, probabiliteti që së paku dy persona në grup kanë ditëlindjen (ditën e lindjes) e njejtë. Megjithatë më lehtë është të llogaritet probabiliteti i kundërt Stampa:Math, probabiliteti që asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë. Meqë Stampa:Math dhe Stampa:Math janë probabilitete të kundërta, Stampa:Math

Ta llogarisim Stampa:Math për 23 persona. Po i numërojmë 23 personat me numra nga 1 deri 23. Po e shënojmë me ngjarja 1 ngjarjen që personi 1 ka ditëlindje, me ngjarja 2 ngjarjen që personi 2 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 1, me ngjarja 3 ngjarjen që personi 3 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 2 dhe personin 1, e kështu me rradhë. Ngjarja që 23 personat të kenë ditëlindje të ndryshme është e njejtë me ngjarjen kur ngarja 1, ngjarja 2, ngjarja 3, e kështu me rradhë deri te ngjarja 23, ndodhin njëkohësisht. Ky probabilitet llogaritet me ndihmën e probabilitetit të kushtëzuar. Probabiliteti i ngjarjes 1 është $\frac{365}{365}=1$, probabiliteti i ngjarjes 2 pas ndodhjes së ngjarjes 1 është $\frac{364}{365}$ për arsye se personi 2 mund të ketë çfardo ditëlindje tjetër përveq ditës së njejtë si personi 1. Ngjashëm probabiliteti i ngjarjes 3 pas ndodhjes së ngjarjeve 1 dhe 2 është $\frac{363}{365}$ e kështu me rradhë deri te ngjarja 23 e cila ka probabilitet $\frac{365-22}{365}=\frac{343}{365}$. Tani, probabiliteti Stampa:Math është i barabart me prodhimin e probabiliteteve të gjitha ngjarjeve 1 deri 23, një nga një, pra:$$P(A^{\prime })=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \frac{362}{365}\times \cdots \times \frac{343}{365},$$pasi të grumbullohen termat në shprehjen e mësipërme marrim:

$\begin{array}{cc}P(A^{\prime })& ={\left(\frac{1}{365}\right)}^{23}\times (365\times 364\times 363\times \cdots \times 343)=\\ & =\frac{356!}{365^{23}(365-23)!}.\end{array}$

Pas njehësimit marrim: $P(A^{\prime })\approx 0.49270276.$

Përfundimisht, $P(A)=1-P(A^{\prime })\approx 1-0.49270276=0.50729724$ Stampa:Math

Ky proces mund të gjeneralizohet për një grup prej Stampa:Mvar personash, ku Stampa:Math është probabiliteti që së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë. Njësoj si më herët është më leht të gjindet probabiliteti i kundërt Stampa:Math, probabiliteti që të gjitha Stampa:Mvar ditëlindjet janë të ndryshme. Sipas parimit të kafazëve të pëllumbave probabiliteti Stampa:Math është zero kur Stampa:Math. Për Stampa:Math kemi:

$$\begin{array}{cc}\overline{p}(n)& =1\times (1-\frac{1}{365})\times (1-\frac{2}{365})\times \cdots \times (1-\frac{n-1}{365})=\\ & =\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}=\\ & =\frac{365!}{365^n(365-n)!}.\end{array}$$

Probabiliteti që asnjë person nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personat tjetrë në një grup në raport me numrin e personave në atë grup.

Shprehja e mësipërme arrihet nga fakti se personi i parë mund ta ketë çfardo ditëlindje, personi i dytë mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditës së njejtë me ditëlindjen e personit të parë, personi i tretë mund ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen personi i parë dhe i dytë, e kështu me rradhë deri te personi i Stampa:Mvar-të i cili mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen Stampa:Math personat para tij.

Nga probabiliteti i kundërt Stampa:Math, gjejmë probabilitetin Stampa:Math,$$p(n)=1-\overline{p}(n).$$Pra:$$p(n)=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}.$$Tabela në vijim tregon probabilitetin Stampa:Math për disa vlera të Stampa:Mvar-it (për këtë tabelë injorohet ekzistenca e viteve të brishta, dhe çdo ditëlindje supozohet të ketë gjasë të ndodhjes të njejtë):

Stampa:Mvar	Stampa:Math
1	0%
5	2.71356%
10	11.69482%
20	41.14384%
23	50.72972%
30	70.63162%
40	89.12318%
50	97.03736%
60	99.41227%
70	99.91596%
80	99.99143%
90	99.9993848%
100	99.999969275107%
200	99.9999999999999999999999999998389874%
300	(100 − 6×10−80)%
365	(100 − 1.45×10−155)%
≥ 366	100%

Vitet e brishta. Nëse zëvendësojmë 366 në vend të 365 në formulën për Stampa:Math atëherë mund të llogaritet probabiliteti i problemit të ditëlindjes edhe për vitet e brishta.

Nëse shënojmë me Stampa:Math këtë probabilitet do të kemi:$$p^{\prime }(n)=1-\frac{366!}{366^n(366-n)!}.$$Pas një kalkulimi tregohet se edhe te vitet e brishta njësoj si vitet normale, numri i personave që nevojiten ashtu që probabiliteti të kaloj 50% është 23.

Përafrime

Zgjerimi i funksionit eksponencial me anë të serive të Taylorit (Numri e Stampa:Math)

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

ofron një përafrim të rendit të parë për Stampa:Math kur

$|x|\ll 1$

:

$$e^x\approx 1+x.$$

Për ta zbatuar këtë përafrim tek shprehja e parë e nxjerrë për Stampa:Math, marrim

$x=-\frac{a}{365}$

. Kështu,

$$e^{-a/365}\approx 1-\frac{a}{365}.$$

Grafi tregon saktësinë e përafrimit Stampa:Math(Stampa:Color).

Pastaj zëvendësojmë Stampa:Mvar me numra të plotë pozitivë për çdo term në shprehjen për Stampa:Math, deri tek Stampa:Math.

Për shembull për Stampa:Math,$$e^{-1/365}\approx 1-\frac{1}{365}.$$Shprehja e parë e nxjerrë për Stampa:Math mund të përafrohet si$$\begin{array}{cc}\overline{p}(n)& \approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}\\ & =e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}\\ & =e^{-(n(n-1)/2)/365}=e^{-n(n-1)/730}.\end{array}$$Prej këtu,$$p(n)=1-\overline{p}(n)\approx 1-e^{-n(n-1)/730}.$$Një përafrim më i thjeshtë jepet me$$p(n)\approx 1-e^{-n^2/730}$$dhe siç shihet në graf është përafrim mjaft i mirë.

Një fuqizim i thjeshtë

Përafrimi i problemit të ditëlindjes me anë të një fuqizimi të thjeshtë.

Probabiliteti që 2 persona mos ta kenë ditëlindjen e njejtë është $\frac{364}{365}$. Në një grup prej Stampa:Mvar personash janë $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})=\frac{n(n-1)}{2}$ dyshe të ndryshme të personave, mund të themi se janë$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ ngjarje. Probabiliteti që çdo dy persona në grup nuk e kanë ditëlindjen e njejtë, mund të përafrohet duke supozuar se të gjitha $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ ngjarjet janë të pavarura dhe duke i shumëzuar probabilitetet e tyre me njëra tjetrën. D.m.th probabiliteti $\frac{364}{365}$ shumëzohet me veten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$ herë, pra:$$\overline{p}(n)\approx {\left(\frac{364}{365}\right)}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}.$$Tani, përafrimi i probabilitetit që në një grup prej Stampa:Mvar personash së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë është:$$p(n)\approx 1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}.$$Siç shihet nga grafiku, përafrimi është mjaft i mirë, por pak më i dobët se përafrimi i parë.