Rregulli i trapezit

Funksioni $f(x)$ (me blu) përafrohet nga një funksion linear (me të kuqe).

Në analizën matematike, rregulla e trapezit (e njohur gjithashtu si rregulli i trapezit)Stampa:Efn është një teknikë për integrimin numerik, i.e., përafron integralin e caktuar:$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$$Rregulli i trapezit funksionon duke përafruar zonën nën grafikun e funksionit $f(x)$ si një trapez dhe duke llogaritur sipërfaqen e tij. Nga kjo rrjedh se$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\cdot \frac{1}{2}(f(a)+f(b)).$$

Një animacion që tregon se çfarë është rregulli i trapezit dhe si zvogëlohet gabimi në përafrim ndërsa zvogëlohet madhësia e hapit

Rregulli i trapezit mund të shihet si rezultat i përftuar nga mesatarizimi i shumave të Rimanitmajtas dhe djathtas, dhe ndonjëherë përcaktohet në këtë mënyrë. Integrali mund të përafrohet edhe më mirë duke ndarë intervalin e integrimit, duke zbatuar rregullin e trapezit në çdo nëninterval dhe duke përmbledhur rezultatet. Në praktikë, ky rregull "i zinxhiruar" (ose "i përbërë") zakonisht nënkuptohet si "integrimi me rregullin e trapezit". Le të jetë$\{x_k\}$ një ndarje e $[a,b]$ sikurse $a=x_0<x_1<\cdots <x_{N-1}<x_N=b$ dhe $\mathrm{\Delta }{x}_k$ të jetë gjatësia e $k$ - nënintervali i-të (d.m.th. $\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}$ ), atëherë$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^N\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}\mathrm{\Delta }{x}_k.$$Kur ndarja ka një hap të rregullt, siç ndodh shpesh, domethënë kur të gjitha $\mathrm{\Delta }{x}_k$ kanë të njëjtën vlerë $\mathrm{\Delta }x,$ formula mund të thjeshtohet për efikasitet llogaritje duke faktorizuar $\mathrm{\Delta }x$ jashtë:.$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+2f(x_4)+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_N)).$$

Historia

Një dokument shkencor i vitit 2016 raporton se rregulli i trapezit ishte në përdorim në Babiloni para vitit 50 pes për integrimin e shpejtësisë së Jupiterit përgjatë ekliptikës .

Zbatimi numerik

Rrjetë jo uniforme

Kur hapësira në rrjetë është jo e njëtrajtshme, mund të përdoret formula$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^N\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}{2}\mathrm{\Delta }{x}_k,$$ku $\mathrm{\Delta }{x}_k=x_k-x_{k-1}.$

Rrjetë uniforme

Për një bashkësi të diskretizuar në $N$ panele të barabarta, mund të ndodhë një thjeshtim i konsiderueshëm. Le të jetë$$\mathrm{\Delta }{x}_k=\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{N}$$përafrimi me integralin bëhet$$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& \approx \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\sum _{k=1}^N(f(x_{k-1})+f(x_k))\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_N))\\ & =\mathrm{\Delta }x(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_k)+\frac{f(x_N)+f(x_0)}{2}).\end{array}$$

Analiza e gabimit

Një animacion që tregon se si përafrimi i rregullave trapezoidale përmirësohet me më shumë shirita për një interval me $a=2$ dhe $b=8$ . Kur numri i intervaleve $N$ rritet, po ashtu rritet edhe saktësia e rezultatit.

Gabimi i rregullit të përbërë trapezoidal është ndryshimi midis vlerës së integralit dhe rezultatit numerik:$$\text{E}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-\frac{b-a}{N}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{N-1}f(a+k\frac{b-a}{N})]$$Ekziston një numër ξ midis a dhe b, i tillë që $$\text{E}=-\frac{(b-a{)}^3}{12N^2}{f}^{″}(\xi )$$Nga kjo rrjedh se nëse i integrueshmi është konkav (dhe kështu ka një derivat të dytë pozitiv), atëherë gabimi është negativ dhe rregulli trapezoidal mbivlerëson vlerën e vërtetë. Kjo mund të shihet edhe nga fotografia gjeometrike: trapezoidët përfshijnë të gjithë zonën nën kurbë dhe shtrihen mbi të. Në mënyrë të ngjashme, një funksion konkav-poshtë jep një nënvlerësim. Nëse intervali i integralit që përafrohet përfshin një pikë infleksioni, gabimi është më i vështirë për t'u identifikuar.

Një vlerësim asimptotik i gabimit për N → ∞ jepet nga$$\text{E}=-\frac{(b-a{)}^2}{12N^2}[f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)]+O(N^{-3}).$$

Shembull

Është dhënë integrali i mëposhtëm:$$\underset{0.1}{\overset{1.3}{\int }}5x{e}^{-2x}dx$$

1. Përdorni rregullin e përbërë trapezoidal për të vlerësuar integralin. Përdorni 3 segmente
2. Gjeni gabimin e vërtetë $E_t$ për pikën (1)
3. Gjeni gabimin e vërtetë relativ absolut $|{ϵ}_t|$ për pikën (1)

Stampa:Ordered listZgjidhjeStampa:Ordered listThe solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}[f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)]$

$\begin{array}{cc}n& =3\\ a& =0.1\\ b& =1.3\\ h& =\frac{b-a}{n}=\frac{1.3-0.1}{3}=0.4\end{array}$

Duke përdorur rregullin e përbërë të trapezit

$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}[f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right\}+f(b)](3)\end{array}$

$\begin{array}{cc}I& \approx \frac{1.3-0.1}{6}[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}f(0.1+0.4i)+f(1.3)]\\ I& \approx \frac{1.3-0.1}{6}[f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}f(0.1+0.4i)+f(1.3)]\\ & =0.2[f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)]\\ & =0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}]\\ & =0.84385\end{array}$

Vlera ekzakte e integralit të mësipërm mund të gjehet me metodën e integrimit me pjesë dhe është

$\underset{0.1}{\overset{1.3}{\int }}5x{e}^{-2x}dx=0.89387$

Pra gabimi i vërtetë është

$\begin{array}{cc}{E}_t& =\text{Vlera e vërtetë}-\text{Vlera e përafërt}\\ & =0.89387-0.84385\\ & =0.05002\end{array}$

Gabimi relativ absolut është:

$\begin{array}{cc}\left|{\epsilon }_t\right|& =\left|\frac{\text{Gabimi}}{\text{Vlera e vërtetë}}\right|\times 100\mathrm{\%}\\ & =\left|\frac{0.05002}{0.89387}\right|\times 100\mathrm{\%}\\ & =5.5959\mathrm{\%}\end{array}$