Shndërrimi i Cayley

Në matematikë, transformimi Cayley, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga Stampa:Harvard citation text, transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë Stampa:Harvard citation .

Homografia reale

Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .

Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:

$[y,1]=[\frac{x-1}{x+1},1]\sim [x-1,x+1]=[x,1]\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).$

Homografia komplekse

Transformimi Cayley i gjysmë rrafshit kompleks të sipërm në diskun njësi

Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:

$f(z)=\frac{z-i}{z+i}.$

Meqënëse $\{\mathrm{\infty },1,-1\}$ është hartuar në $\{1,-i,i\}$, dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuar në planin kompleks, $f$ harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga $f$ është një homeomorfizëm dhe $i$ është marrë në 0 nga $f$, gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .

Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.

Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .

Homografia e kuaternioneve

Në hapësirën katërdimensionale të kuaternioneve $a+b\overrightarrow{i}+c\overrightarrow{j}+d\overrightarrow{k}$, versorët

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ formojnë 3-sferën njësi .

Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara $U[a,b]$ për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është

$f(u,q)=U[q,1]\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -u& u\end{array}\right)=U[q-u,q+u]\sim U[(q+u{)}^{-1}(q-u),1].$

Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku $\theta$ është zero ose $\pi /2$, respektivisht. Me sa duket transformimi merr $u\to 0\to -1$ dhe merr $-u\to \mathrm{\infty }\to 1$ .

Duke vlerësuar këtë homografi në $q=1$ harton versorin $u$ në boshtin e saj:

$f(u,1)=(1+u{)}^{-1}(1-u)=(1+u{)}^{*}(1-u)/|1+u{|}^2.$

Por $|1+u{|}^2=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\text{dhe}(1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

Kështu $f(u,1)=-r\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=-r\tan \frac{\theta }{2}.$

Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le $t=\tan \varphi /2$ në identitetin e numrit kompleks

$e^{-i\phi }=\frac{1-ti}{1+ti}$

ku ana e djathtë është transformimi i $ti$ dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me $\varphi$ radianë negativë.

I anasjellti

Le të jetë $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ Meqënëse

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -u& u\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -u^{*}\\ 1& u^{*}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e $f(u,1)$ është

$U[p,1]\left(\begin{array}{cc}1& -u^{*}\\ 1& u^{*}\end{array}\right)=U[p+1,(1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p{)}^{-1}(p+1),1].$

Harta matricore

Midis n × n matricave katrore mbi numrat realë, me I matricën identitare, le të jetë A çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që A ^T = − A ).

Pastaj I+ A është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley

$Q=(I-A)(I+A{)}^{-1}$

prodhon një matricë ortogonale, Q (në mënyrë të tillë që Q ^T Q = I ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e Q më sipër është ndërrues, kështu që Q mund të përkufizohet në mënyrë alternative si $Q=(I+A{)}^{-1}(I-A)$ . Në fakt, Q duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.

Anasjelltas, le të jetë Q çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë

$A=(I-Q)(I+Q{)}^{-1}$

është një matricë anore-simetrike. Kushti në Q përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.

Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) Q mund të shkruhet si

$Q=((I-A)(I+A{)}^{-1}{)}^2$

për disa matricë anore-simetrike A ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale Q mund të shkruhet si

$Q=E(I-A)(I+A{)}^{-1}$

Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu, që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,

$\begin{array}{cc}Q& =(I-A{)}^{-1}(I+A),\\ A& =(Q-I)(Q+I{)}^{-1}.\end{array}$

Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur; megjithatë, A udhëton gjithmonë me (μ I ± A ) ⁻¹, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.

Shembuj

Në rastin 2×2, kemi

$\left[\begin{array}{cc}0& \tan \frac{\theta }{2}\\ -\tan \frac{\theta }{2}& 0\end{array}\right]\leftrightarrow \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Matrica e rrotullimit 180°, − I, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan ^θ ⁄ ₂ shkon në pafundësi.

Në rastin 3×3, kemi

$\left[\begin{array}{ccc}0& z& -y\\ -z& 0& x\\ y& -x& 0\end{array}\right]\leftrightarrow \frac{1}{K}\left[\begin{array}{ccc}{w}^2+x^2-y^2-z^2& 2(xy-wz)& 2(wy+xz)\\ 2(xy+wz)& w^2-x^2+y^2-z^2& 2(yz-wx)\\ 2(xz-wy)& 2(wx+yz)& w^2-x^2-y^2+z^2\end{array}\right],$

ku K = w ² + x ² + y ² + z ², dhe ku w = 1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit

$w+𝐢x+𝐣y+𝐤z$