Shpërndarja F

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja F ose raporti F, e njohur gjithashtu si shpërndarja F e Snedekorit ose shpërndarja Fisher-Snedekor (pas Ronald Fisher dhe George W. Snedecor ), është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që lind shpesh si shpërndarje null e një statistike testimi, më së shumti në analizën e variancës (ANOVA) dhe F -testeve të tjera. ^[1] ^[2] ^[3]

Përkufizimi

Shpërndarja $F$ me $d_{1}$ dhe $d_{2}$ shkallë lirie është shpërndarja e

X = \frac{S_{1} / d_{1}}{S_{2} / d_{2}}

ku $S_{1}$ dhe $S_{2}$ janë ndryshore të rastit të pavarura me shpërndarje hi-katrore me shkallë lirie përkatëse $d_{1}$ dhe $d_{2}$ .

Mund të tregohet se funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) për $X$ jepet nga

\begin{matrix} f (x; d_{1}, d_{2}) & = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \\ = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{d_{1} / 2} x^{d_{1} / 2 - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- (d_{1} + d_{2}) / 2} \end{matrix}

për $x > 0$ real. Këtu $B$ është funksioni beta . Në shumë zbatime, parametrat $d_{1}$ dhe $d_{2}$ janë numra të plotë pozitivë, por shpërndarja është e mirëpërcaktuar për vlera reale pozitive të këtyre parametrave.

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

F (x; d_{1}, d_{2}) = I_{d_{1} x / (d_{1} x + d_{2})} (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2}),

ku $I$ është funksioni beta jo i plotë i rregulluar .

Pritshmëria, varianca dhe detaje të tjera rreth $F (d_{1}, d_{2})$ janë dhënë në kutinë anësore; për $d_{2} > 8$ , kurtoza e tepërt është

γ_{2} = 12 \frac{d_{1} (5 d_{2} - 22) (d_{1} + d_{2} - 2) + (d_{2} - 4) (d_{2} - 2)^{2}}{d_{1} (d_{2} - 6) (d_{2} - 8) (d_{1} + d_{2} - 2)} .

Momenti k -të i një shpërndarjeje $F (d_{1}, d_{2})$ ekziston dhe është i fundëm vetëm kur $2 k < d_{2}$ dhe është i barabartë me

μ_{X} (k) = {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{k} \frac{Γ (\frac{d_{1}}{2} + k)}{Γ (\frac{d_{1}}{2})} \frac{Γ (\frac{d_{2}}{2} - k)}{Γ (\frac{d_{2}}{2})} .

^[4]

Karakterizimi

Një ndryshor i rastit i shpërndarjes $F$ me parametra $d_{1}$ dhe $d_{2}$ lind si raport i dy variateve hi-katror të shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme:

X = \frac{U_{1} / d_{1}}{U_{2} / d_{2}}

ku

$U_{1}$ dhe $U_{2}$ kanë shpërndarje hi-katrore me $d_{1}$ dhe $d_{2}$ shkallët e lirisë përkatësisht, dhe
$U_{1}$ dhe $U_{2}$ janë të pavarur .

Vetitë dhe shpërndarjet e lidhura

Nëse $X \sim χ_{d_{1}}^{2}$ dhe $Y \sim χ_{d_{2}}^{2}$ ( Shpërndarja hi-katror ) janë të pavarura, atëherë $\frac{X / d_{1}}{Y / d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$
Nëse $X_{k} \sim Γ (α_{k}, β_{k})$ ( Shpërndarja gama ) janë të pavarura, atëherë $\frac{α_{2} β_{1} X_{1}}{α_{1} β_{2} X_{2}} \sim F (2 α_{1}, 2 α_{2})$
Nëse $X \sim Beta (d_{1} / 2, d_{2} / 2)$ ( Shpërndarja beta ) atëherë $\frac{d_{2} X}{d_{1} (1 - X)} \sim F (d_{1}, d_{2})$
Në mënyrë të barabartë, nëse $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , atëherë $\frac{d_{1} X / d_{2}}{1 + d_{1} X / d_{2}} \sim Beta (d_{1} / 2, d_{2} / 2)$ .
Nëse $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ , atëherë $\frac{d_{1}}{d_{2}} X$ ka një shpërndarje beta kryesore : $\frac{d_{1}}{d_{2}} X \sim β^{'} (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})$ .
Nëse $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ atëherë $Y = \lim_{d_{2} \to \infty} d_{1} X$ ka shpërndarjen hi-katror $χ_{d_{1}}^{2}$
$F (d_{1}, d_{2})$ është e njëvlershme me shpërndarjen e shkallëzuar të Hotelling në T-katror $\frac{d_{2}}{d_{1} (d_{1} + d_{2} - 1)} T^{2} (d_{1}, d_{1} + d_{2} - 1)$ .
Nëse $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ atëherë $X^{- 1} \sim F (d_{2}, d_{1})$ .
Nëse $X \sim t_{(n)}$ - Shpërndarja t-së studentit - më pas: $\begin{matrix} X^{2} & \sim F (1, n) \\ X^{- 2} & \sim F (n, 1) \end{matrix}$
Shpërndarja F është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit 6
Nëse $X$ dhe $Y$ janë të pavarura, me $X, Y \sim$ Laplace( μ, b ) atëherë $\frac{| X - μ |}{| Y - μ |} \sim F (2, 2)$
Nëse $X \sim F (n, m)$ atëherë $\frac{\log X}{2} \sim FisherZ (n, m)$ ( Shpërndarja e Fisher's z )
Shpërndarja joqendrore <i id="mwAQI">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen $F$ nëse $λ = 0$ .
Shpërndarja e dyfishtë joqendrore <i id="mwAQc">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen $F$ nëse $λ_{1} = λ_{2} = 0$
Nëse $Q_{X} (p)$ është kuantili $p$ për $X \sim F (d_{1}, d_{2})$ dhe $Q_{Y} (1 - p)$ është kuantili $1 - p$ për $Y \sim F (d_{2}, d_{1})$ , atëherë $Q_{X} (p) = \frac{1}{Q_{Y} (1 - p)} .$
Shpërndarja $F$ është një shembull i shpërndarjeve të raporteve
W -shpërndarja ^[5] është një parametrizim unik i shpërndarjes $F$ .

[johnson-1] Stampa:Cite book

[2] NIST (2006).

[3] Stampa:Cite book

[taboga-4] Stampa:Cite web

[5] Stampa:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Shpërndarja F

Përkufizimi

Karakterizimi

Vetitë dhe shpërndarjet e lidhura

Menuja e navigimit

Kërko