Shpërndarja e Laplasit

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja e Laplasit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e cila e merr emrin nga Pierre-Simon Laplace . Nganjëherë quhet edhe shpërndarja eksponenciale e dyfishtë, sepse mund të mendohet si dy shpërndarje eksponenciale (me një parametër shtesë të vendndodhjes) të bashkuara së bashku përgjatë abshisës, megjithëse termi ndonjëherë përdoret gjithashtu për t'iu referuar shpërndarjes Gumbel . Ndryshesa midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identikisht me ligj eksponencial, ndjek një shpërndarje Laplas, siç është një lëvizje Browniane e vlerësuar në një kohë të rastësishme të shpërndarë në mënyrë eksponenciale. Rritjet e lëvizjes Laplas ose një procesi variance gama të vlerësuar mbi shkallën kohore gjithashtu kanë një shpërndarje Laplace.

Përkufizimet

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Një ndryshore e rastit ndjek një shpërndarje $\text{Laplace}(\mu ,b)$ nëse funksioni i densitetit të probabilitetit të saj është:

$f(x\mid \mu ,b)=\frac{1}{2b}\exp (-\frac{|x-\mu |}{b})$

Këtu, $\mu$ është një parametër i vendndodhjes dhe $b>0$, i cili nganjëherë quhet "diversitet", është një parametër i shkallës . Nëse $\mu =0$ dhe $b=1$, gjysmëdrejtëza pozitive është saktësisht një shpërndarje eksponenciale e shkallëzuar me 1/2.

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes Laplas të kujton shpërndarjen normale ; megjithatë, ndërsa shpërndarja normale shprehet me ndryshesën në katror nga mesatarja $\mu$, dendësia e Laplasit shprehet në terma të ndryshimit absolut nga mesatarja. Rrjedhimisht, shpërndarja Laplace ka bishta më të trashë se shpërndarja normale.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Shpërndarja Laplas është e lehtë për t'u integruar (nëse dallohen dy raste simetrike) për shkak të përdorimit të funksionit të vlerës absolute . Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është si më poshtë:

$\begin{array}{cc}F(x)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)\mathrm{d}u=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\exp \left(\frac{x-\mu }{b}\right)& \text{if }x<\mu \\ 1-\frac{1}{2}\exp (-\frac{x-\mu }{b})& \text{if }x\ge \mu \end{array}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(x-\mu )(1-\exp (-\frac{|x-\mu |}{b})).\end{array}$

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë jepet nga

$F^{-1}(p)=\mu -b\mathrm{sgn}(p-0.5)\ln (1-2|p-0.5|).$

Vetitë

Momentet

${{\mu }_r}^{\prime }=\left(\frac{1}{2}\right)\sum _{k=0}^r[\frac{r!}{(r-k)!}{b}^k{\mu }^{(r-k)}\{1+(-1{)}^k\}].$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ atëherë $kX+c\sim \text{Laplace}(k\mu +c,|k|b)$.
• Nëse $X\sim \text{Laplace}(0,1)$ atëherë $bX\sim \text{Laplace}(0,b)$.
• Nëse $X\sim \text{Laplace}(0,b)$ atëherë $\left|X\right|\sim \text{Exponential}\left(b^{-1}\right)$ (shpërndarja eksponenciale).
• Nëse $X,Y\sim \text{Exponential}(\lambda )$ atëherë $X-Y\sim \text{Laplace}(0,{\lambda }^{-1})$．
• Nëse $X\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ atëherë $|X-\mu |\sim \text{Exponential}(b^{-1})$.
• Nëse $X\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ atëherë $X\sim \text{EPD}(\mu ,b,1)$ (shpërndarja normale e përgjithësuar).
• Nëse $X_1,...,X_4\sim \text{N}(0,1)$ (shpërndarja normale) atëherë $X_1{X}_2-X_3{X}_4\sim \text{Laplace}(0,1)$ dhe $(X_1^2-X_2^2+X_3^2-X_4^2)/2\sim \text{Laplace}(0,1)$.
• Nëse $X_i\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ atëherë $\frac{2}{b}\sum _{i=1}^n|X_i-\mu |\sim {\chi }^2(2n)$ (shpërndarja hi katror).
• Nëse $X,Y\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ atëherë $\frac{|X-\mu |}{|Y-\mu |}\sim \mathrm{F}(2,2)$. (shpërndarja F)
• Nëse $X,Y\sim \text{U}(0,1)$ (shpërndarja e njëtrajtshme) atëherë $\log (X/Y)\sim \text{Laplace}(0,1)$.
• Nëse $X\sim \text{Exponential}(\lambda )$ dhe $Y\sim \text{Bernoulli}(0.5)$ (shpërndarja Bernuli) e pavarur nga $X$, atëherë $X(2Y-1)\sim \text{Laplace}(0,{\lambda }^{-1})$.
• Nëse $X\sim \text{Exponential}(\lambda )$ dhe $Y\sim \text{Exponential}(\nu )$ e pavarur nga $X$, atëherë $\lambda X-\nu Y\sim \text{Laplace}(0,1)$．
• Nëse $X$ ka një shpërndarje Rademacher dhe $Y\sim \text{Exponential}(\lambda )$ atëherë $XY\sim \text{Laplace}(0,1/\lambda )$.
• Nëse $V\sim \text{Exponential}(1)$ dhe $Z\sim N(0,1)$ e pavarur nga $V$, atëherë $X=\mu +b\sqrt{2V}Z\sim \mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\mu ,b)$.
• Nëse $X\sim \text{GeometricStable}(2,0,\lambda ,0)$ (shpërndarja gjeometrike e qëndrueshme) atëherë $X\sim \text{Laplace}(0,\lambda )$.
• Nëse $X|Y\sim \text{N}(\mu ,Y^2)$ me $Y\sim \text{Rayleigh}(b)$ (shpërndarja Rayleigh ) atëherë $X\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$. Vereni së nëse $Y\sim \text{Rayleigh}(b)$, atëherë $Y^2\sim \text{Gamma}(1,2b^2)$ me $\text{E}(Y^2)=2b^2$, e cila është e barabartë me $\text{Exp}(1/(2b^2))$.
• Dhënë një numër i plotë $n\ge 1$, Nëse $X_i,Y_i\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n},b)$ (shpërndarja gamma, duke përdorur karakterizimin $k,\theta$ ), atëherë $\sum _{i=1}^n(\frac{\mu }{n}+X_i-Y_i)\sim \text{Laplace}(\mu ,b)$ (pjestueshmëria e pafundme)
• Nëse X ka një shpërndarje Laplasi, atëherë Y = e^X ka një shpërndarje log Laplasi; anasjelltas, Nëse X ka një shpërndarje log Laplasi, atëherë logaritmi i saj ka një shpërndarje Laplasi.

Lidhja me shpërndarjen eksponenciale

Një ndryshore e rastit Laplas mund të përfaqësohet si ndryshesë e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura dhe identikisht të shpërndara ( iid ). Një mënyrë për ta treguar këtë është duke përdorur qasjen e funksionit karakteristik . Për çdo grup të ndryshoreve të rastit të vazhdueshme të pavarura, për çdo kombinim linear të këtyre ndryshoreve, funksioni i tij karakteristik (i cili përcakton në mënyrë unike shpërndarjen) mund të merret duke shumëzuar funksionet karakteristike përkatëse.

Konsideroni dy ndryshore të rastit iid $X,Y\sim \text{Exponential}(\lambda )$ . Funksionet karakteristike për $X,-Y$ janë përkatësisht:

$\frac{\lambda }{-it+\lambda },\frac{\lambda }{it+\lambda }$

Në shumëzimin e këtyre funksioneve karakteristike (e njëvlerëshme me funksionin karakteristik të shumës së ndryshoreve të rastit $X+(-Y)$ ), rezultati është

$\frac{{\lambda }^2}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}=\frac{{\lambda }^2}{t^2+{\lambda }^2}.$

Ky është i njëjtë me funksionin karakteristik për $Z\sim \text{Laplace}(0,1/\lambda )$, që është

$\frac{1}{1+\frac{t^2}{{\lambda }^2}}.$

Inferenca statistikore

Dhënë $n$ zgjedhje të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike $x_1,x_2,...,x_n$, vlerësuesi i përgjasisë maksimale (MLE) të $\mu$ është mesatarja e mostrës,

$\hat{\mu }=\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}(x).$

Vlerësuesi MLE i $b$ është shmangia absolute mesatare nga mesorja,

$\hat{b}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\hat{\mu }|.$

Ndodhia dhe aplikimet

Shpërndarja e Laplasit është përdorur në njohjen e të folurit për të modeluar pararendësit në koeficientët DFT dhe në ngjeshjen e imazhit JPEG për të modeluar koeficientët AC të krijuar nga një DCT .

• Shtimi i zhurmës së nxjerrë nga një shpërndarje e Laplasit, me parametrin e shkallëzimit të përshtatshëm për ndjeshmërinë e një funksioni, në daljen e një query të bazës së të dhënave statistikore është mjeti më i zakonshëm për të siguruar privatësi diferenciale në bazat e të dhënave statistikore.

Shpërndarja e Laplasit e përshtatur në reshjet maksimale njëditore

• Në analizën e regresit, vlerësimi i devijimeve absolute më të pakta lind si vlerësimi i përgjasisë maksimale nëse gabimet kanë një shpërndarje Laplasi.
• Rregullimi Lasso mund të mendohet si një regresion Bejesi me një pararendës Laplasi për koeficientët.
• Në hidrologji shpërndarja e Laplasit zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu, e bërë me CumFreq, ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Laplas me reshjet maksimale vjetore të renditura njëditore, duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e grafikuara si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
• Shpërndarja e Laplasit ka aplikime në financa. Për shembull, SG Kou zhvilloi një model për çmimet e instrumenteve financiare duke përfshirë një shpërndarje Laplasi (në disa raste një shpërndarje asimetrike Laplasi ) për të adresuar problemet e shtrembërimit, kurtozës dhe buzëqeshjes së paqëndrueshmërisë që ndodh shpesh kur përdoret një shpërndarje normale për çmimin e këtyre instrumenteve.

Historia

Kjo shpërndarje shpesh përmendet si "ligji i parë i gabimeve të Laplasit". Ai e botoi atë në 1774, duke modeluar frekuencën e një gabimi si një funksion eksponencial të madhësisë së tij mbasi shenja e tij shpërfillej. Laplasi më vonë do ta zëvendësonte këtë model me "ligjin e tij të dytë të gabimeve", bazuar në shpërndarjen normale, pas zbulimit të teoremës qëndrore limite.

Keynes botoi një punim në 1911 bazuar në tezën e tij të mëparshme ku ai tregoi se shpërndarja e Laplasit minimizonte devijimin absolut nga mesatarja.